Question

[Nguyễn Linh Khánh]

Rút gọn biểu thức và tìm GTNN

 \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(x-1\right)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\sqrt{x-1}+1+\left|\sqrt{x-1}-1\right|\)

\(=\left|1-\sqrt{x-1}\right|+\left|\sqrt{x-1}+1\right|\)

Áp dụng bđt \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu :

\(\left|1-\sqrt{x-1}\right|+\left|1+\sqrt{x-1}\right|\ge\left|1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1\right|=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(0\le\sqrt{x-1}\le1\) \(\Leftrightarrow1\le x\le2\)

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại \(1\le x\le2\)

Answer 2

[Nguyễn Linh Khánh]

Mik cảm ơn nhé!