Question

[Trần An]

giải hpt

\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)=8\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[ngonhuminh]

(1)<=>x^2+y^2+(x+y)=8

<=>(x+y)^2+(x+y)=2xy+8

(2x+2y+1)^2=8xy+33(a)

(2)<=>(2x+2y+1)=-2xy+11(b)

(a)+4(b);

(2x+2y+1)^2+4(2x+2y+1)=77

<=>(2x+2y+3)^2=81

|2x+2y+3|=9

x+y={-6;3}=>xy={11;2}

z^2+6z+11=0; ∆1: =9-11<0 vn

z^2-3z+2=0(a+b+c=0)

z{1,2}

(x,y)=(1,2);(2,1)

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x(x+1)+y(y+1)=8\\ x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy+x+y=8\\ xy=5-(x+y)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2-2[5-(x+y)]+x+y=8\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2+3(x+y)-18=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y-3)(x+y+6)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=3\rightarrow xy=2(1)\\ x+y=-6\rightarrow xy=11(2)\end{matrix}\right.\)

Với (1), theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt: \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow (x,y)=(1,2)\) và hoán vị

Với (2) , theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt \(x^2+6x+11=0\), pt này vô nghiệm nên không tồn tại $x,y$

Vậy $(x,y)=(1,2)$ và hoán vị