Question

[Hà Trung Chiến]

CMR:2¹⁰⁰ có 31 chữ số khi viết trong hệ thập phân

Answer 1

[Le Thi Khanh Huyen]

Ta có:2¹⁰=1024>10³=>2¹⁰⁰>10³⁰ (1)

Mặt khác: 2¹⁰=1024<1025=>2¹⁰⁰<1025¹⁰

=>\(\frac{2^{100}}{10^{30}}=\left(\frac{2^{10}}{10^3}\right)^{10}<\left(\frac{1025}{10^3}\right)^{10}=\left(\frac{41}{40}\right)^{10}\)

Ta đã biết:Nếu 0<b<a thì ab+b<ab+a

=>b(a+1)<a(b+1)

=>\(\frac{a+1}{b+1}<\frac{a}{b}\) (*)

Áp dụng (*) ta có: \(\frac{41}{40}<\frac{40}{39}<\frac{39}{38}<...<\frac{32}{31}<\frac{31}{30}\)

do đó \(\frac{2^{100}}{10^{30}}=\left(\frac{41}{40}\right)^{10}<\frac{40}{39}.\frac{39}{38}....\frac{32}{31}.\frac{31}{30}=\frac{4}{3}<2\)

=>2¹⁰⁰<2.10³⁰  (2)

Từ (1);(2)=>10³⁰<2¹⁰⁰<2.10³⁰

=>2¹⁰⁰ có tất cả 31 chữ số,nếu viết trong hệ thập phân thì 2¹⁰⁰ có 30 chữ số