Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)\(< \frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)\(\left(1\right)\)
Ta lại có :
\(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)\(< \frac{2a}{a+b+c+d}+\frac{2b}{a+b+c+d}+\frac{2c}{a+b+c+d}+\frac{2d}{a+b+c+d}=\frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=2\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)suy ra \(1< S< 2\)
Vậy \(S\)không là số tự nhiên
\(a.\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\left(đpcm\right)\)
\(b.\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1_{ }\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\)\(\left(đpcm\right)\)
\(c.\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{b}{a}+1=\frac{d}{c}+1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}\)hay \(\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{d}\left(đpcm\right)\)
\(d.\)Tương tự \(c\) nhé bn. Chúc bn học tốt!
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow\frac{b}{a}+1=\frac{d}{c}+1\Leftrightarrow\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}\) (1)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}\Leftrightarrow1-\frac{b}{a}=1-\frac{d}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\) (2)
Nhân vế (1) và (2) lại ta được:
\(\frac{a+b}{a}\cdot\frac{a}{a-b}=\frac{c+d}{c}\cdot\frac{c}{c-d}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $A$
Với mọi $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ ta có:
$\frac{a}{a+b+c}> \frac{a}{a+b+c+d}$
$\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}$
$\frac{c}{c+d+a}> \frac{c}{a+b+c+d}$
$\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}$
Cộng theo vế:
$D> \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$ hay $D>1(*)$
Mặt khác:
Xét $\frac{a}{a+b+c}-\frac{a+d}{a+b+c+d}=\frac{-d(b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với mọi $a,b,c,d>0$
$\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}$
Tương tự:
$\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}$
$\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{c+d+a+b}$
$\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{d+a+b+c}$
Cộng theo vế:
$A< \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$ hay $A< 2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không phải số tự nhiên.
Với a,b,c,d là các số nguyên dương ta luôn có :
\(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Tương tự : \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}< S< \frac{2.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\rightarrow1< S< 2\)
Do đó , S không là số tự nhiên.
a) Cách 1: Từ điều kiện \(a,b,c,d\) khác nhau và \(a.d=b.c\)
ta suy ra \(a,b,c,d\ne0\) và \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(1\right)\).
Cộng vào hai vế của (1) cùng số 1 ta được:
\(\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\Rightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}.\)
Cách 2: Theo tính chất của tỉ lệ thức, từ (1) suy ra:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{c+d}{d}=\frac{a+b}{b}.\)
b) Giải tương tự câu a) ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1=\frac{a-b}{c}=\frac{c-d}{d}.\)
Hoặc ta có theo tính chất của tỉ lệ thức
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}.\)
Bạn tham khảo tại đây nhé: Câu hỏi của David Santas.
Chúc bạn học tốt!