Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{x^4-x^3-x+1}{x^4+x^3+3x^2+2x+2}\)
\(=\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge0\forall x\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = 1
Bn kia giải bài 1 r nên mk giải bài 2 nha!
Sửa lại:\(\dfrac{x^7+x^2+1}{x^8+x+1}\)
\(\dfrac{x^7+x^2+1}{x^8+x+1}=\dfrac{x^7-x+x^2+x+1}{x^8-x^2+x^2+x+1}\)
\(=\dfrac{x\left(x^6-1\right)+x^2+x+1}{x^2\left(x^6-1\right)+x^2+x+1}\)
\(=\dfrac{x\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)+x^2+x+1}{x^2\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)+x^2+x+1}\)
\(=\dfrac{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x^3+1\right)+x^2+x+1}{x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x^3+1\right)+x^2+x+1}\)
\(=\dfrac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^5-x^4+x^2-x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)}\)
Cả tử và mẫu đều có nhân tử:\(x^2+x+1>1\Rightarrowđpcm\)
đk x khác -1
A=\(\frac{\left(x^3-x^2+x\right)+\left(3x^2-3\right)+\left(x+4\right)}{x^3+1}=\frac{\left(x^3+1\right)+2x^2+2x}{x^3+1}=1+\frac{2x}{x^2-x+1}=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)
a) \(A=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\frac{\left(2x+1\right)^2+3}{\left(2x-1\right)^2+3}\) Gọn thế nào quan điểm của người chấm.
b) Tử & mẫu của A luôn lớn hơn 3 lên suy ra ta luôn dương
A = \(\frac{x}{x+1}\)\(-\)\(\frac{3-3x}{x^2-x+1}\)\(+\)\(\frac{x+4}{x^3+1}\)
= \(\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{x^3+1}\)\(-\)\(\frac{3-3x\left(x+1\right)}{x^3+1}\)\(+\)\(\frac{x+4}{x^3+1}\)
= \(\frac{x\left(x^2-x+1\right)-\left(3x-3\right)\left(x+1\right)+\left(x+4\right)}{x^3+1}\)
đến đây cậu tự nhân phá ra rồi rút gọn nhé
\(P=\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x+1}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\)
ĐKXĐ : \(x\ne1\)
\(=\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{x+1}{x^2+x+1}+\frac{-1}{x-1}\)
\(=\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{-\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{x^2+2+x^2-1-x^2-x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x^2-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x}{x^2+x+1}\)
b) Xét hiệu P - 1/3 ta có :
\(\frac{x}{x^2+x+1}-\frac{1}{3}=\frac{3x}{3\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{3x-x^2-x-1}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{-x^2+2x-1}{3\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{-\left(x^2-2x+1\right)}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{-\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\)
Ta có : ( x - 1 )2 ≥ 0 ∀ x => -( x - 1 )2 ≤ 0 ∀ x
x2 + x + 1 = ( x2 + x + 1/4 ) + 3/4 = ( x + 1/2 )2 + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x
=> 3( x2 + x + 1 ) ≥ 9/4 > 0 ∀ x
Vậy -( x - 1 )2 và 3( x2 + x + 1 ) trái dấu nhau
=> \(\frac{-\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\le0\)hay P - 1/3 ≤ 0
Đẳng thức xảy ra <=> x = 1 ( ktm ) => Không xảy ra đẳng thức
Vậy P < 1/3 ( đpcm )
\(P=\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x+1}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\)
\(=\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{x^2+2+x^2-1-x^2-x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x^2-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x}{x^2+x+1}\)
a, \(A=\frac{5-7x}{x^2+x+1}-\frac{7}{3}\)
Để A xác định thì \(x^2+x+1\ne0\) \(\Leftrightarrow x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ne0\)
Mà \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}>0\text{ }\forall\text{ }x\)
⇒ A xác định với mọi x.(đpcm)
b, \(B=\frac{x+10}{4x^2+2x+3}-\frac{x^2-4}{2}\)
Để B xác định thì \(4x^2+2x+3\ne0\) \(\Leftrightarrow\left(2x\right)^2+2.2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{11}{4}\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ne0\)
Mà \(\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}>0\forall x\)
⇒ B xác định với mọi x.(đpcm)
a)\(\frac{x^2+4}{x^2}+\frac{4}{x+1}\left(\frac{1}{x}+1\right)\)
\(=\frac{x^2+4}{x^2}+\frac{4}{x+1}.\frac{x+1}{x}\)
\(=\frac{x^2+4}{x^2}+\frac{4}{x}\)
\(=\frac{x^2+4x+4}{x^2}\)
\(\left(\frac{x+2}{x}\right)^2\)
=>phép chia = 1 với mọi x # 0 và x#-1
b)Cm tương tự
b/
\(\frac{1}{x^3-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{6x+c}{x^2+x+1}=\frac{\left(a+6\right)x^2+\left(c+a-6\right)x-c+a}{x^3-1}\)
Đồng nhất thức 2 vế ta được
\(\hept{\begin{cases}a+6=0\\c+a-6=0\\a-c=1\end{cases}}\)
Vô nghiệm vậy không tồn tại a, c thỏa cái đó
a/ Ta có
\(\frac{10x-4}{x^3-4x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x+2}=\frac{\left(a+b+c\right)x^2+\left(2b-2c\right)x-4a}{x^3-4x}\)
Đồng nhất thức 2 vế ta được
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\2b-2c=10\\-4a=-4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=-3\end{cases}}\)
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
\(A=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{3x^2-3x+3}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x^2+x+1+2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\\x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\Rightarrow\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge0\) \(\forall x\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\) \(\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)