Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!
thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!
solution:
ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)
tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:
\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:
\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)
đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x2+y2+z2=3 => x=y=z=1
*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):
\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)
\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Hồ Minh Phi - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Lời giải:
Để cho gọn đặt \((\sqrt{x}; \sqrt{y}; \sqrt{z})=(a,b,c)\) với \(a,b,c>0\)
Khi đó:
\(A=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ac}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab}\)
\(=\frac{1}{2}(\frac{2bc}{a^2+2bc}+\frac{2ac}{b^2+2ac}+\frac{2ab}{c^2+2ab})\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a^2}{a^2+2bc}+1-\frac{b^2}{b^2+2ac}+1-\frac{c^2}{c^2+2ab}\right)\)
\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\underbrace{\left(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\right)}_{M}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(M\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)
\(\Rightarrow A=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}M\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\)
Vậy \(A_{\max}=1\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.
(x+y+z)^2/3>=(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)/3>=3(xy+yz+zx)/3=xy+yz+zx(do x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx)(1)
(xy+yz)/2>=y√xz;(yz+zx)/2>=z√xy;(zx+xy)/2>=x√yz(BĐT Cô-si)
Cộng theo vế >>>xy+yz+zx>=y√xz+z√xy+x√yz(2)
Từ(1),(2) >>>đpcm
from giả thiết => x+y+z=xyz
biến đổi như sau:\(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
=\(\sqrt{\dfrac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)\)