Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{16}.4.4=1\)
Để đơn giản bài toán thì ta xét trường hợp cá biệt. \(x=y\) thì đề ban đầu trở thành.
\(x,z>0,\frac{2}{x}+\frac{1}{z}=4\)
Đễ thấy \(\frac{1}{z}< 4\)
\(\Leftrightarrow z>0,25\)
Với \(z\) càng gần bằng 0,25 thì \(\frac{1}{z}\)càng gần với 4
\(\Rightarrow\frac{2}{x}=4-\frac{1}{z}\) càng gần = 0
\(\Rightarrow x\)càng lớn
\(\Rightarrow M\) càng bé nhưng giá trị chỉ dần về 0 chứ không thể bằng 0 được.
Vậy đề trên là sai.
Có \(18\ge x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}}{3}-\frac{3}{4}=\frac{\left(x+y+z+\frac{3}{2}\right)^2}{3}-\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z+\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{225}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(-9\le x+y+z\le6\)
\(B\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}\ge\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=2\)
\(x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)+z\left(z+1\right)\le18\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+x+y+z\le18\)
Ta có \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(x+y+z\right)\le18\)
Đặt: \(x+y+z=t>0\Rightarrow\frac{t^2}{3}+t\le18\Leftrightarrow\left(t+9\right)\left(t-6\right)\le0\Rightarrow t\le6\left(t>0\right)\)
\(B=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\frac{3}{5}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=2\)
Ta có \(A=2x+3y+5z+\frac{1}{x}+\frac{8}{y}+\frac{16}{z}\)
\(=\left(x+y+z\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{8}{y}\right)+\left(4z+\frac{16}{z}\right)\)
\(\ge5+2+2\sqrt{2.8}+2\sqrt{4.16}=31\)
MinA=31 khi a=1; b=c=2
\(A=\left(\frac{1}{x}+2x\right)+\left(\frac{1}{y}+2y\right)+\left(\frac{1}{z}+2z\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x}+2x\ge\frac{1}{8x^2}+\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2x-1\right)^2\left(4x-1\right)}{8x^2}\ge0\) ( luôn đúng)
Tương tự ta cũng có:
\(2y+\frac{1}{y}\ge\frac{1}{8y^2}+\frac{5}{2};2z+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{8z^2}+\frac{5}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có;
\(A\ge\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\frac{5}{2}\cdot3=9\)
Xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
1.\(N=x^2+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2.1000.1000}{x^2}}\)
\(\Rightarrow N\ge300\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^3=1000\Leftrightarrow x=10\)
2.\(P=\left(5x+\frac{12}{x}\right)+\left(3y+\frac{16}{y}\right)\ge2\sqrt{60}+2\sqrt{48}=4\sqrt{15}+8\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow5x=\frac{12}{x};3y=\frac{16}{y}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{12}{5}};y=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
\(\)
YLê Anh DuyPhùng Tuệ Minh Akai Haruma