Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1 mảnh đất HCN có chu vi là 120m,có chiều rộng bằng \(\frac{3}{5}\)chiều dài.
a Tính diện tích mảnh đất đó
b Người ta chia mảnh vườn thành 2 khu.Biết\(\frac{1}{2}\)
diện tích trồng cây ăn quả bằng \(\frac{2}{5}\)diện tích khu trồng hoa.Tính diện tích mỗi khu.
ĐẶt \(A=\frac{25x}{y+z}+25+\frac{4y}{z+x}+4+\frac{9z}{x+y}+9\)
\(A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{25}{y+z}+\frac{4}{z+x}+\frac{9}{x+y}\right)\)
Chứng minh Bất đẳng thức phụ \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\forall a,,b,c>0\)rồi áp dụng, ta có
\(A\ge\left(x+y+z\right)\frac{\left(5+2+3\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=50\)
\(\Rightarrow\frac{25x}{y+z}+\frac{4y}{z+x}+\frac{9z}{x+y}\ge12\forall x,y,z>0\)
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số không âm ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)
Dấu "=" <=> x = y = z. (đpcm)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta được:
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\)\(+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\)
\(+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Áp dụng Bunhiacopxki dạng phân thức:
\(VT=\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\ge\frac{\left(\sqrt{2}.3\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{x+y+z}\)
Dấu "=" khi x = y = z > 0
cũng là Cauchy-Schwarz dạng Engel nhưng làm khác idol :))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+y+z+z+x}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
=> \(2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\cdot2=\frac{9}{x+y+z}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z