Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Biến đổi từ giả thiết
\(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)
(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x+y\le2\)
Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)
Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)
Dấu "=" <=> a= b = 1
Áp dụng nè : \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\Rightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(x-y\right)^2\)
đặt x+y=a và xy=b
\(\Rightarrow a^2=b\left(a^2-4b\right)\Rightarrow a^2=a^2b-4b^2\Rightarrow4b^2=a^2\left(b-1\right)\Rightarrow\frac{4b^2}{b-1}=a^2\)
Lại có:
\(\frac{b^2}{b-1}=\frac{b^2-1+1}{b-1}=b+1+\frac{1}{b-1}=b-1+\frac{1}{b-1}+2\ge2+2=4\)
\(\Rightarrow\frac{4b^2}{b-1}\ge16\Rightarrow a^2\ge16\Rightarrow a\ge4\Rightarrow x+y\ge4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2+\sqrt{2},y=2-\sqrt{2}\)
Từ giả thiết ta có :
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
ta có : \(Q=\frac{y+2}{x^2}+\frac{z+2}{y^2}+\frac{x+2}{z^2}\)
\(=\frac{\left(x+1\right)+\left(y+1\right)}{x^2}+\frac{\left(y+1\right)+\left(z+1\right)}{y^2}+\frac{\left(z+1\right)+\left(x+1\right)}{z^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y+1\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(z+1\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge\frac{2\left(x+1\right)}{zx}+\frac{2\left(y+1\right)}{xy}+\frac{2\left(z+1\right)}{yz}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+2\)
Áp dụng bđt \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\sqrt{3}\)
Do đó : \(Q\ge\sqrt{3}+2\). Dấu " = " xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\\z+y+z=xyz\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}}\)
Vậy Min \(Q=\sqrt{3}+2\)khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Áp dụng bđt Svacsơ ta có :
\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{x^2}{x+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
ta lại có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)( bunhiacopxki )
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3xy+3yz+3zx\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)=3\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\) có GTNN là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
\(P=\sqrt{\frac{1}{36}\left(11a+7b\right)^2+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}+\sqrt{\frac{1}{36}\left(7a+11b\right)+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}\left(3a+5b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}+\sqrt{\frac{1}{16}\left(5a+3b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}\)
\(\ge\frac{1}{6}\left(11a+7b\right)+\frac{1}{6}\left(7a+11b\right)+\frac{1}{4}\left(3a+5b\right)+\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)
\(=5\left(a+b\right)=5.2016=10080\)
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}=1\Leftrightarrow\frac{2y}{1+y}=1-\frac{x}{1+x}=\frac{1}{x+1}\)\(\Leftrightarrow2y\left(x+1\right)=y+1\Leftrightarrow2xy^2=-y^2+y=-\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow xy^2\le\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
ta có x>=2y suy ra x-2y>=0
m=x^2/xy+y^2/xy điều kiện x,y khác 0
M=x/y+y/x
2M=2x/y+2y/x
2M=2.x/y+(-x+2y+x)/x
2m=2.(x-2y)/y+2.2y/x-(x-2y)/x+x/x
2m=2(x-2y)/y-(x-2y)/x+5
vì x-2y>=0=>2(x-2y)/y-(x-2y)/x+5>=5
2M>=5
2M>5/2
vậy M=5/2
chưa chắc đã đúg đôu đúg tk mk nha
Đặt \(\frac{x}{y}=a\)
Vì \(x\ge2y>0\Rightarrow a\ge2\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{4}}+\frac{3a}{4}\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu " \(=\)" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=2\Leftrightarrow x=2y>0\)
Vì x,y là số thực dương nên theo BĐT Cosi ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) Dấu "=" xảy ra <=> x=y hay x+x+x2=15 => x=y=3
GT: x+y+xy=15 => xy=15-(x+y)
Do đó: \(P=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2-30+2\left(x+y\right)\ge\left(2\sqrt{xy}\right)^2-30+2\cdot2\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=3
Vậy \(min_P=4\cdot3^2-30+4\cdot3=18\Leftrightarrow x=y=3\)