GL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
TN
6 tháng 2 2017
Áp dụng BDT AM-GM ta có:\(VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{VT}{3}\ge\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{yz+yx+y}+\frac{z^2}{xz+zy+z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+xy+z}\) (Cauchy-Schwarz)
Do \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le x^2+y^2+z^2\).Suy ra
\(2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra \(\frac{VT}{3}\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\Rightarrow VT\ge3\) (điều phải chứng minh)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
8 tháng 7 2022
a: \(x^2+x+1=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
b: \(x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
c: \(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\forall x,y\ne0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 12 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3yz}}+\frac{y^2}{\sqrt[3]{y^3xz}}+\frac{z^2}{\sqrt[3]{z^3xy}}\)
\(\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}}\) (1)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(\sqrt[3]{x^3yz}\leq \frac{x^2+xyz+1}{3}; \sqrt[3]{y^3xz}\leq \frac{y^2+xyz+1}{3}; \sqrt[3]{z^3xy}\leq \frac{z^2+xyz+1}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\leq \frac{x^2+y^2+z^2+3xyz+3}{3}=2+xyz\)
Theo BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\leq 3\Leftrightarrow xyz\leq 1\)
Do đó: \(\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\leq 3\) (2)
Từ (1),(2) và sử dụng hệ quả \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\) :
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{3}\geq \frac{3(xy+yz+xz)}{3}=xy+yz+xz\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
27 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+z+1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{x+z+1}{3}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+y+1}{3}}\)
Cần chứng minh \(\dfrac{9x}{y+z+1}+\dfrac{9y}{x+z+1}+\dfrac{9z}{x+y+1}\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Cauchy-Schwarz: \(VT=\dfrac{9x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{9y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{9z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\dfrac{9\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\left(x+y+z\right)^2\)
BĐT cuối đúng vì dễ thấy: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
22 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
x4 + yz \(\ge\)\(2\sqrt{x^4yz}=2x^2\sqrt{yz}\); \(y^4+xz\ge2y^2\sqrt{xz}\); \(z^4+xy\ge2z^2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
CM : x + y + z \(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
\(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
KN
31 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương, ta có: \(\Sigma\frac{x^2}{x^4+yz}\le\Sigma\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\Sigma\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)
\(\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1