Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
Giải bài này hơi dài, t ngại làm lắm :v you vào ib t chỉ cho =))
Bài này cũng dễ mà:
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}\)
\(\Rightarrow\)\(\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}\)
Mà \(\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\)
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:
\(\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Mà:
\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT phụ)
\(\Rightarrow\)\(2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)
Áp dụng BĐT Bunhicopski:
\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1
Gọi \(t\) là số nhỏ nhất trong các hiệu \(a-b;b-c;c-a\)
Giả sử \(a\ge b\ge c\) thì \(t\ge0\). Ta có:
\(a-b\ge t\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge t^2\)
\(b-c\ge t\Rightarrow\left(b-c\right)^2\ge t^2\)
\(a-c\ge2t\ge0\Rightarrow\left(a-c\right)^2\ge4t^2\)
Cộng từng vế:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge6t^2\)
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2\ge6m^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6m^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge m^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
help me plz
thank you so much