Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x^2+y^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^4}}=\sqrt{3}.\sqrt[3]{xy^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt[3]{xy^2}}{z}+\frac{\sqrt[3]{yz^2}}{x}+\frac{\sqrt[3]{zx^2}}{y}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{xy^2.yz^2.zx^2}}{xyz}}=3\sqrt{3}.\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{x^3y^3z^3}}{xyz}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
\(VT=\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)}\)
\(VT\ge\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2}=\sum\sqrt{\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(z+x\right)\)
\(VT\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\).
Xét 4 số m, n, p, q. Ta sẽ chứng minh \(\left(m+n+p+q\right)^2\le4\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\) (*)
Thật vậy:
(*) \(\Leftrightarrow2\left(mn+np+pq+qm+mp+nq\right)\le3\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-q\right)^2+\left(q-m\right)^2+\left(m-p\right)^2+\left(n-q\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Từ đó: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{z}\right)^2\le4\left(x+y+z+z\right)=4\left(x+y+2z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\le2\sqrt{x+y+2z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\le\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}ab\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2}ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự, ta có:
\(\sum\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\sum a=\frac{1}{2}\)
Ta chứng minh điều sau: Nếu \(a,b>0\) thì \(2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5\left(a+b\right)^2}{4}.\) Thực vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(8a^2+4ab+8b^2\ge5\left(a^2+2ab+b^2\right)\Leftrightarrow3\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0.\)
Quay lại bài toán, áp dụng nhận xét ta được
\(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{5\left(x+y\right)}{2},\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{5\left(y+z\right)}{2},\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\frac{5\left(z+x\right)}{2}.\)
Cộng các bất đẳng thức lại ta sẽ được \(VT\ge\frac{5}{2}>\sqrt{5}.\)
\(ĐKXĐ:x,y,z\ge1\left(x,y,z\inℤ\right)\)
Ta có: \(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4.\frac{2x+y}{2}.\frac{3y}{2}=3y\left(2x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự: \(\frac{2y+z}{y\left(y+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\);\(\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}.3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)(*)
Ta có: \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{\left(2x-1\right).1}\le\frac{2x-1+1}{2}=x\)(BĐT Cô - si)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\);\(\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(A=\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}+\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}+\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Từ đẳng thức đã cho suy ra \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\)
Áp dụng\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)ta có \(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4\cdot\frac{2x+y}{2}\cdot\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\)(Dấu "=" xảy ra <=> x=y)
=> \(\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\end{cases}}\)
=> \(A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)(Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z)
Ta có \(\sqrt{\left(2x-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(2x-1\right)+1}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le x\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\\\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\end{cases}}\)
Do đó \(A\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)(dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1)
Vậy MaxA=3 đạt được khi x=y=z=1
Nguyễn Việt Lâm
Đề sai, nếu \(x+y+z=3\) thì vế phải là \(3\sqrt{3}\)
Muốn vế phải là 3 thì \(x+y+z=1\)
\(VT\le\sqrt{3\left(x+2y+y+2z+z+2x\right)}=\sqrt{9\left(x+y+z\right)}=3\sqrt{3}\)