Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng cauchy ngược dấu là xong nhé bạn :>> mình ko đánh đc sorry bạn
Okey
\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)
Tương tự thì ta có:
\(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
Vậy P=2
gt\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+1=9\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\)
Ta có:\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)(đúng);
\(\sqrt{x}\le\frac{x+4}{4}\Leftrightarrow x-4\sqrt{x}+4\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\sqrt{y}\le\frac{y+4}{4}\Leftrightarrow\left(\sqrt{y}-2\right)^2\ge0\)(đúng)
Cộng theo vế ba BĐT ta có:\(8\le\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+4}{4}+\frac{y+4}{4}=\frac{3\left(x+y\right)}{4}+2\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x+y\right)\ge6\Leftrightarrow x+y\ge8\)
Lại có:\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{y+x}=x+y\ge8\)
Nên GTNN của P là 8 đạt được khi \(x=y=4\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge8\)
Theo bất đẳng thức CÔ-si:
\(8\le\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+4}{4}+\frac{y+4}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{2x+2y+x+4+y+4}{4}=\frac{3x+3y+8}{4}=\frac{3\left(x+y\right)}{4}+\frac{8}{4}=\frac{3\left(x+y\right)}{4}+2\)
\(\Rightarrow\frac{3\left(x+y\right)}{4}+2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{3\left(x+y\right)}{4}\ge6\)
\(\Rightarrow x+y\ge8\)
Theo BĐT Cô si: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y}+y\ge2x\\\frac{y^2}{x}+x\ge2y\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{y}+y+\frac{y^2}{x}+x\ge2x+2y}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\ge8\)
Vậy Gía trị nhỏ nhất của P là 8 khi x = y = 4
Ta co: \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=y+z\)
Thê vào ta được
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
Cách của mình dài ,bạn nào có cách khác ngắn gọn hơn thì chỉ cho mình với ạ. Cảm ơn
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}.\)(*)
Thật vậy: \(ax+by\le\sqrt{\left(ax+by\right)^2}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)(BĐT bunhiacopxi)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2\left(ax+by\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\). BĐT đã được chứng minh
Xét : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=x^2-\left(1+x^2\right)=-1.\)
Theo giả thết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=-\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).\)
\(\Leftrightarrow2018x+y=2018\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}.\)(1)
Tương tự:
Xét:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y^2-\left(1+y^2\right)=-1\)
Theo giả thiết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+2018y=-\sqrt{1+x^2}+2018\sqrt{1+y^2}\)(2)
Cộng các vế của (1) và (2) lại ta được
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)
Khi đó áp dụng bất đẳng thức (*) ta có;
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\right)\ge2017\left(\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}\right)\)
\(\Rightarrow2019\left(x+y\right)\ge2017\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(x+y=a>0\)ta có;
\(2019a\ge2017\sqrt{4+a^2}\Leftrightarrow2019^2a^2\ge2017^2a^2+2017^2.4\)
\(\Leftrightarrow\left(2019^2-2017^2\right)a^2\ge\left(2017.2\right)^2\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2.2.2}{2.4036}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2}{2018}\)
\(\Rightarrow a\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}\Rightarrow x+y\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y là \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{2017}{2\sqrt{2018}}.\)
bn đào thu hà k cần cm bdt phụ đâu đấy là bdt mincopski đc dùng luôn
VẬy bạn giải ra cho mọi người xem được ko?
Lớn hơn hoặc bằng kí hiệu trong Latex là \geq nha!
\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}-y\) (nhân liên hợp 2 vế)
Tương tự ta có: \(y+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+x^2}-x\)
Cộng vế với vế:
\(x+y+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}=\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+x^2}-x-y\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow x+y=0\) \(\Rightarrow y=-x\)
\(P=x^7+\left(-x\right)^7+2\left(x^5+\left(-x\right)^5\right)-3\left(x^3+\left(-x\right)^3\right)+4\left(x-x\right)+100=100\)