Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)
\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a2+b2+c2\(\ge\)2a(b+c)
Chứng minh:
Ta có 2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)
Áp dụng bđt cauchy ta có
(a2+b2)+(a2+c2)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)
\(P=\sqrt{\frac{1}{36}\left(11a+7b\right)^2+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}+\sqrt{\frac{1}{36}\left(7a+11b\right)+\frac{59\left(a-b\right)^2}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}\left(3a+5b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}+\sqrt{\frac{1}{16}\left(5a+3b\right)^2+\frac{5\left(a-b\right)^2}{16}}\)
\(\ge\frac{1}{6}\left(11a+7b\right)+\frac{1}{6}\left(7a+11b\right)+\frac{1}{4}\left(3a+5b\right)+\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)
\(=5\left(a+b\right)=5.2016=10080\)
Ta chứng minh được:
\(0\le x:y\le1\)
\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2;xy\ge0\)
\(P^2=8+5\left(x+y\right)+2\sqrt{16+20\left(x+y\right)+25xy}\)
\(P^2\ge8+5\left(x^2+y^2\right)+2\sqrt{16+20\left(x^2+y^2\right)}\)
\(P^2\ge8+5+2\sqrt{16+20}=25\)
\(\Rightarrow P\ge5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{cases}}\)
ta có \(\sum\) \(a+\frac{9}{16}a^2\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}\)
\(\Rightarrow\)\(\sum\) \(a\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}-\frac{9}{16}a^2\)\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3})-\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)\ge\frac{9}{2}\sqrt{abc}-\frac{9}{16}.4\sqrt{abc}\)>\(2\sqrt{abc}\) theo bđt côsi
ĐPCM
có thể cảm ơn tôi tại đây https://diendantoanhoc.net/members/
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(x.\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\right)^2\le\left(x^2+1-x^2\right).\left(y^2+1-y^2\right)\)
\(\Rightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le1\Rightarrow x^2+y^2\le1\)
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopxki : \(\left(3x+4y\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(x^2+y^2\right)\le\left(3^2+4^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(3x+4y\right)^2\le25\Rightarrow3x+4y\le5\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwaz:
\(\left(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\right)\left[xy^2+y^2\left(x+2y\right)\right]\ge\left(x^2+3y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2xy^2+2y^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2y^2\left(x+y\right)}\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge x+y\)
Do đó: Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(2y^2\left(x+y\right)\le2y^2\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+y^2+2y^2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(x+y\right)\le\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{4}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Vậy \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\)
\(2x+y=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y\ge5\sqrt[5]{\frac{x^4y}{16}}\)
\(5x^2+5y^2=\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{4}x^2+5y^2\ge5\sqrt[5]{\frac{5^5}{4^4}x^8y^2}=5^2.\sqrt[5]{\frac{1}{4^4}}.\left(\sqrt[5]{x^4y}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5x^2+5y^2}\ge5.\sqrt[5]{\frac{1}{2^4}}.\sqrt[5]{x^4y}\)
\(10=2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}\ge10.\sqrt[5]{\frac{1}{16}}\sqrt[5]{x^4y}\)
\(\Rightarrow\sqrt[5]{x^4y}\le\sqrt[5]{16}\)\(\Rightarrow x^4y\le16\)
có ai giải giúp mình không