Question

[Ko cần bít]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Kẻ phân giác của góc ACH cắt AH tại M, kẻ phân giác của góc BAH cắt BH tại N. 

a) CMR: MN // AB

b) MB cawts AN tại O, cắt các đường thẳng qua N và song song với AH tại I. CMR \(\frac{1}{MO}=\frac{1}{MI}+\frac{1}{MB}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C H M N I O

a) Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác, ta có: 

\(\frac{AM}{HM}=\frac{AC}{HC}\); \(\frac{BN}{HN}=\frac{AB}{AH}\).

Dễ thấy \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)CHA (g.g): \(\frac{AC}{AB}=\frac{HC}{AH}\Rightarrow\frac{AC}{HC}=\frac{AB}{AH}\)

Do đó: \(\frac{AM}{HM}=\frac{BN}{HN}\)=> MN // AB (ĐL Thales đảo) (đpcm).

b) Áp dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{MO}{MI}=\frac{AO}{AN}\)(Do NI//AM); \(\frac{MO}{MB}=\frac{NO}{AN}\)

\(\Rightarrow\frac{MO}{MI}+\frac{MO}{MB}=\frac{AO+NO}{AN}=\frac{AN}{AN}=1\Leftrightarrow\frac{1}{MI}+\frac{1}{MB}=\frac{1}{MO}\)(đpcm).