Question

[Linh Đặng]

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, BC=10cm. tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại M. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC lần lượt cắt đoạn AC tại E và cắt đường BA tại F. Tia BE cắt đoạn thẳng FC tại N.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BM và MC

b) Chứng minh EF.FM=AF.BF

c) Chứng minh: \(\widehat{EMN}=\widehat{ECN}\)

d) Chứng minh ΔBNC là tam giác vuông cân

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABC có

AM là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\frac{BM}{AB}=\frac{CM}{AC}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\frac{BM}{6}=\frac{CM}{AC}\)(1)

Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)

hay \(AC=\sqrt{64}=8cm\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BM}{6}=\frac{CM}{8}\)

Ta có: BM+CM=BC(M nằm giữa B và C)

hay BM+CM=10cm

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{BM}{6}=\frac{CM}{8}=\frac{BM+CM}{6+8}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{BM}{6}=\frac{5}{7}\\\frac{CM}{8}=\frac{5}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BM=\frac{5\cdot6}{7}=\frac{30}{7}cm\\CM=\frac{5\cdot8}{7}=\frac{40}{7}cm\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(BM=\frac{30}{7}cm\); \(CM=\frac{40}{7}cm\)

b) Xét ΔAEF và ΔMBF có

\(\widehat{FAE}=\widehat{FMB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{MFB}\) chung

Do đó: ΔAEF∼ΔMBF(g-g)

⇒\(\frac{EF}{BF}=\frac{AF}{MF}=\frac{AE}{MB}=k\)(tỉ số đồng dạng)

hay \(EF\cdot FM=AF\cdot BF\)(đpcm)