Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài toán này dựa vào nhận xét sau đây: Nếu AD,BE,CF là đường cao của tam giác thì \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{1}{r}.\) Thực vậy, do tâm đường tròn nội tiếp chia tam giác ra thành 3 tam giác con có cùng độ dài đường cao là r. Do đó \(S=r\cdot\frac{AB+BC+CA}{2},\) với \(S\) là diện tích tam giác ABC. Mặt khác \(\frac{1}{AD}=\frac{BC}{2S},\frac{1}{BE}=\frac{CA}{2S},\frac{1}{CF}=\frac{AB}{2S}\to\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{AB+BC+CA}{2S}.\) Từ đó ta có đẳng thức.
Quay lại bài toán, từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}.\) Do quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, ta có \(AM\ge AD,AN\ge BE,AP\ge CF\to\)các dấu bằng phải xảy ra, do đó M,N,P trùng với chân các đường cao của tam giác. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau BP=BM, suy ra hai tam giác vuông AMB và CPB bằng nhau (g.c.g). Do đó AB=CB. Tương tự BC=AC. Vậy tam giác ABC đều.
A D E C I B J H K M O
- vÌ H là trực tâm của tam giác ABC , \(BD⊥BC,CE⊥AB\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\) nên BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm đường tròn nội tiếp BCDE là J ( trung điểm BC)
- I đối xứng với A qua O => AI là đường kính của đường tròn tâm O =>\(\widehat{ACI}=\widehat{ABI}=90^0\)vì\(\hept{\begin{cases}BD⊥AC\\CI⊥AC\end{cases}\Rightarrow BD}\downarrow\uparrow CI\left(1\right)\) VÀ\(\hept{\begin{cases}CE⊥AB\\BI⊥AB\end{cases}\Rightarrow CE\uparrow\downarrow BI\left(2\right)}\)Từ (1) và (2) BHCI là hình bình hành,mà J LÀ Trung điểm của BC nên J là giao điểm của hai đường chéo HI và BC của hbh BICH nên ta có I,J,H thẳng hàng (DPCM)
- Vì BCDE là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ADK}\left(3\right)\)mặt khác ABIC nội tiếp (O) nên \(\widehat{IAC}=\widehat{IBC}\left(4\right)\)ta lại có \(BI⊥AB\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{IBC}=90^O\left(5\right)\)TỪ 3,4,5 ta có \(\widehat{IAC}+\widehat{ADK}=90^O\)hay \(DE⊥AM\Rightarrow\Delta ADM\)vuông tại D và có DE là đường cao tương ứng tại D nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có (DPCM) \(\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DA^2}+\frac{1}{DM^2}\)