Question

[lê quỳnh như]

cho \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}\)

chứng minh

\(-1\le a< 0\)

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{a}=x\\\sqrt[3]{b}=b\end{cases}}\)

Thì đề bài trở thành 

Cho \(x+y=\sqrt[3]{y^3-\frac{1}{4}}\)

Chứng minh: \(0>x\ge-1\)

Lập phương 2 vế ta được:

\(\left(x+y\right)^3=y^3-\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow12xy^2+12x^2y+4x^3+1=0\)

Với \(x=0\) thì

\(\Rightarrow1=0\left(l\right)\)

Với \(x\ne0\)

Để phương trình theo nghiệm y có nghiệm thì

\(∆'=36x^4-12x\left(4x^3+1\right)\ge0\) 

 \(\Leftrightarrow x^4+x\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le x< 0\) 

Vậy ta có ĐPCM