Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn ơi 2 phân số sau viết sai tử rùi kìa
Áp dụng bđt x^2+y^2 >= 2xy với mọi x,y
Xét : a^3/a^2+b^2 = a - ab^2/a^2+b^2 >= a-ab^2/2ab = a-b/2
Tương tự : b^3/b^2+c^2 >= b-c/2
c^3/c^2+a^2 >= c-a/2
=> A >= a+b+c-a/c-b/2-c/2 = a+b+c/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c và a+b+c=3
<=> a=b=c=1
Vậy Min A = 3/2 <=> a=b=c=1
k mk nha
Đặt \(A=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
Ta có : \(\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{3-a^2}=\frac{a}{\sqrt{\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}=\frac{a^2}{a\sqrt{\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\)
\(=\frac{a^2\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\)
Theo BĐT Cô - si ta có :
\(0< \sqrt[3]{2a^2.\left(3-a^2\right).\left(3-a^2\right)}\le\frac{2a^2+3-a^2+3-a^2}{3}=2\)
\(\Leftrightarrow0< 2a^2.\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)\le8\)
\(\Leftrightarrow0< \sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}\le2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\ge\frac{a^2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{a^2}{2}\)
Hay : \(\frac{a}{b^2+c^2}\ge\frac{a^2}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có : \(\frac{b}{c^2+a^2}\ge\frac{b^2}{2};\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{c^2}{2}\)
Do đó : \(A\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(Min\) \(A=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Gọi biểu thức là N
Dự đoán \(MinN=\frac{3}{2}\)khi a = b = c = 1, ta dùng UCT giải quyết bài toán
Ta viết lại \(N=\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\)(do \(a^2+b^2+c^2=3\)theo giả thiết)
Xét bất đẳng thức phụ \(\frac{a}{3-a^2}\ge\frac{a^2}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{2\left(3-a^2\right)}\ge0\)(Đúng vì \(3-a^2=b^2+c^2>0\)và a > 0)
Tương tự: \(\frac{b}{3-b^2}\ge\frac{b^2}{2}\)(1); \(\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{c^2}{2}\)(2)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (*), (1) và (2), ta được: \(\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
cách làm như trên sẽ k được điểm, bởi bn làm ngược lại , đoán điểm rơi xong thay vào ,nếu k đoán được thì sao ?
thứ 2, a,b,c lớn nhất có thể = căn 3 >1 ,giả sử a= căn 3,b=c=0.
hôm nọ có god chém pqr rất thần thánh, e xin ''mượn'' lại:
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b+c=p\\ab+bc+ca=q\\abc=r\end{cases}}\)
\(P=2p+\frac{q}{r}\)
ta có BĐT \(q^2\ge3rp\)(auto chứng minh)
\(\Leftrightarrow\frac{q}{r}\ge\frac{3p}{q}\)
do đó \(P\ge2p+\frac{3p}{q}\)và \(q=\frac{p^2-3}{2}\)
cần cm \(P\ge9\Leftrightarrow2p+\frac{6p}{p^2-3}\ge9\Leftrightarrow\left(p-3\right)^2\left(2p+3\right)\ge0\)(luôn đúng)
vậy\(P\ge9\)
Cần cù bù thông minh ( ͡° ͜ʖ ͡°)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a^3+abc}{b^2+c^2}-a+\frac{b^3+abc}{c^2+a^2}-b+\frac{c^3+abc}{a^2+b^2}-c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a^2+bc-b^2-c^2\right)}{b^2+c^2}+\frac{b\left(b^2+ac-c^2-a^2\right)}{c^2+a^2}+\frac{c\left(c^2+ab-a^2-b^2\right)}{a^2+b^2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{a\left(\left(a-b\right)\left(a+2b-c\right)-\left(c-a\right)\left(a+2c-b\right)\right)}{b^2+c^2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)\left(\frac{a\left(a+2b-c\right)}{b^2+c^2}-\frac{b\left(b+2a-c\right)}{a^2+c^2}\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left((a-b)^2\left(\frac{(a^3+b^3-c^3+3a^2b+3ab^2-a^2c-b^2c-abc+ac^2+bc^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\right)\right)\ge0\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)