Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Bạn vẽ hình ra cho dễ tưởng tượng nhé!
Để ý rằng: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OA}\\ \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OB}\\ \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OC}\\ \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OD}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
Vì $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ nên :
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\); \(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\) (các cặp vector đối nhau)
Do đó, \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}\)
Suy ra \(\overrightarrow {MS}=4\overrightarrow {MO}\), kéo theo \(M,O,S\) thẳng hàng (theo thứ tự)
Do đó \(MS\) luôn quay quanh một điểm cố định là $O$
b)
Lấy điểm \(I\) thỏa mãn: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=0\)
Vì \(A,B,C,D\) cố định nên \(I\) cố định.
Ta có:
\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}|\)
\(=|4\overrightarrow{MI}|=a\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\frac{a}{4}\)
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn \(M\) là đường tròn tâm $I$ bán kính \(\frac{a}{4}\)
c) Ta có:
\(|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}|=|\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}|\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{NO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OD}|\)
\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{OB}|=|2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}|\) \((1)\)
Gọi \(I,K\) là trung điểm của \(AB,CD\) thì:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\\ \overrightarrow {KC}+\overrightarrow{KD}=0\end{matrix}\right.\)
Có
\((1)\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KD}|\)
\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+2\overrightarrow{OI}|=|2\overrightarrow{NO}+2\overrightarrow{OK}|\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OI}|=|\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OK}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{NI}|=|\overrightarrow{NK}|\)
Do đó tập hợp điểm N nằm trên đường trung trực của \(IK\)
a) \(MA^2+MB^2=MC^2\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 12x - 10y - 5 = 0\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 66\)
Vậy tập hợp các điểm M là một đường tròn.
b) Tâm là điểm (-6 ; 5) bán kính bằng \(\sqrt{66}\)
Chắc đề là: \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=a\) ?
\(\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow\left|4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow4\left|\overrightarrow{MO}\right|=a\)
\(\Leftrightarrow MO=\dfrac{a}{4}\)
Tập hợp M là đường tròn tâm O bán kính \(\dfrac{a}{4}\)
Chọn C