Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đths trên \(\). Ta có :
PT d : \(y=\dfrac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_{0-1}}=\dfrac{-x}{\left(x_0-1\right)^2}+\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}\)
K/C từ B(1;1) đến d : d(B;d) = \(\left|\dfrac{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+1-\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\right|\)
= \(\left|\dfrac{2\left(1-x_0\right)}{\left(x_0-1\right)^2}\right|:\dfrac{\sqrt{\left(x_0-1\right)^4+1}}{\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{\left(1-x_0\right)^4+1}}\) \(\le\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{2\left(1-x_0\right)^2}}=\sqrt{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
Suy ra : y = -x hoặc y = -x + 4
\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Giả sử \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến d:
\(y=-\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_0-1}\)
\(\Rightarrow x+\left(x_0-1\right)^2y-x_0^2=0\)
\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|1+\left(x_0-1\right)^2-x_0^2\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2\left|x_0-1\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+\left(x_0-1\right)^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}=\left(x_0-1\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x\\y=-x+4\end{matrix}\right.\)
\(y'=4x^3-4mx\Rightarrow y'\left(1\right)=4-4m\)
\(A\left(1;1-m\right)\)
Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng:
\(y=\left(4-4m\right)\left(x-1\right)+1-m\)
\(\Leftrightarrow\left(4-4m\right)x-y+3m-3=0\)
\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|\dfrac{3}{4}\left(4-4m\right)-1+3m-3\right|}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(4-4m=0\Rightarrow m=1\)
y′=4x3−4mx⇒y′(1)=4−4my′=4x3−4mx⇒y′(1)=4−4m
A(1;1−m)A(1;1−m)
Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng:
y=(4−4m)(x−1)+1−my=(4−4m)(x−1)+1−m
⇔(4−4m)x−y+3m−3=0⇔(4−4m)x−y+3m−3=0
d(B;d)=∣∣∣34(4−4m)−1+3m−3∣∣∣√(4−4m)2+1=1√(4−4m)2+1≤1d(B;d)=|34(4−4m)−1+3m−3|(4−4m)2+1=1(4−4m)2+1≤1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 4−4m=0⇒m=1
\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi tiếp tuyến qua điểm \(M\left(a;b\right)\) thuộc (C) có dạng:
\(y=\dfrac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\dfrac{2a-1}{a-1}\)
\(\Leftrightarrow x+\left(a-1\right)^2y-2a^2+2a-1=0\)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\(\dfrac{\left|1+2\left(a-1\right)^2-2a^2+2a-1\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|2a-2\right|=\sqrt{2}.\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-1\right)^2=1+\left(a-1\right)^4\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-1\right)^2-1\right]^2=0\Rightarrow a=...\)
b.
Vẫn từ công thức khoảng cách trên:
\(d=\dfrac{\left|2a-2\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2\sqrt{\left(a-1\right)^2}}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(a-1\right)^2}+\left(a-1\right)^2}}\)
\(d\le\dfrac{2}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(a-1\right)^2}}}}=\sqrt{2}\)
Vậy \(d_{max}=\sqrt{2}\) khi tiếp tuyến trùng với các tiếp tuyến câu a
\(y'=1+\dfrac{1}{x^2}\) , gọi \(M\left(m;m-\dfrac{1}{m}\right)\)
Tiếp tuyến d tại M: \(y=\left(1+\dfrac{1}{m^2}\right)\left(x-m\right)+m-\dfrac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{m^2}\right)x-y-\dfrac{2}{m}=0\)
\(d\left(O;d\right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left|\dfrac{2}{m}\right|}{\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{m^2}\right)^2+1}}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{16}{m^2}=\left(1+\dfrac{1}{m^2}\right)^2+1\Leftrightarrow16t=\left(1+t\right)^2+1\) (với \(t=\dfrac{1}{m^2}\))
\(\Leftrightarrow t^2-14t+2=0\)
Sao đề cho nghiệm xấu vậy ta?
TenAnh1 TenAnh1 A = (-4.3, -9.06) A = (-4.3, -9.06) A = (-4.3, -9.06) B = (11.06, -9.06) B = (11.06, -9.06) B = (11.06, -9.06)
Điều kiện: \(x\ne1\)
a) Xét phương trình: \(\frac{x^2-2mx+3m-2}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-2=0\)\(\left(x-1\ne0\right)\)
Pt có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>2\\m< 1\end{cases}}\)
Khi đó \(\hept{\begin{cases}x_1=m-\sqrt{m^2-3m+2}\\x_2=m+\sqrt{m^2-3m+2}\end{cases}}\)
+) \(x_1,x_2\ne1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\\m+\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\end{cases}\Leftrightarrow m\ne1}\)
+) Tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm với trục Ox vuông góc với nhau
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y'\left(x_1\right)=-1\left(1\right)\\y'\left(x_2\right)=1\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x_1-2m\right)\left(x_1-1\right)-\left(x_1^2-2mx_1+3m-2\right)}{\left(x_1-1\right)^2}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{m-1}{\left(x_1-1\right)^2}=2\Rightarrow m-1=2\left(m-\sqrt{m^2-3m+2}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[1-2\left(2m-3-2\sqrt{m^2-3m+2}\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{m^2-3m+2}=4m-7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ge\frac{7}{4}\\m=\frac{17}{8}\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{17}{8}\)(t/m m>2 v m<1)
Giải (2) cho ra \(m=1\)(loại). Vậy m cần tìm là \(m=\frac{17}{8}.\)
\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)
a) \(y'=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)
pt tiếp tuyến : \(\left[{}\begin{matrix}y=-\left(x-3\right)+4=-x+7\\y=-\left(x+1\right)=-x-1\end{matrix}\right.\)
b) \(k=\pm1\)
\(y'< 0\forall x\Rightarrow y'=-1\)
làm như trên
c) hoành độ tiếp điểm \(x=\pm2\)
TH x = 2
\(k=-4\)
pt tiếp tuyến : \(y=-4\left(x-2\right)+6=-4x+14\)
TH x = -2
\(k=-\dfrac{4}{9}\)
pt tiếp tuyến : \(y=-\dfrac{4}{9}\left(x+2\right)+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{9}\)
\(y'=\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến tại \(M\left(m;\dfrac{m-2}{m+1}\right)\) có dạng:
\(y=\dfrac{3}{\left(m+1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m-2}{m+1}\)
\(\Leftrightarrow3x-\left(m+1\right)^2y+m^2-4m-2=0\)
\(P=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|6m+6\right|}{\sqrt{9+\left(m+1\right)^4}}=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}}}\le\dfrac{6}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{9\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}}}}=\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left(m+1\right)^2=\dfrac{9}{\left(m+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=3\Rightarrow m=\) ... lại xấu :)