Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
Ta có: \(A=\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)
\(=1+\frac{1}{y}+x+\frac{x}{y}+1+\frac{1}{x}+y+\frac{y}{x}\)
\(=\left(x+\frac{1}{2x}\right)+\left(y+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+2\)
Lại có: \(x,y\in Z^+\) nên ta có:
- \(x+\frac{1}{2x}\ge\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(y+\frac{1}{2y}\ge\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
- \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}}=2\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Từ trên ta suy ra: \(A\ge3\sqrt{2}+4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy \(A_{Min}=3\sqrt{2}+4\)
\(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)
ÁP DỤNG BĐT COSI
\(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}=x+y+1\ge3=>x+y\ge2\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=2\left(cosi\right)\) vậy min P=2 <=> x=y=1
Bài làm :
Ta có :
\(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{y}+\sqrt{x}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge3\)
Áp dụng BĐT cosi cho các số không âm ; ta được :
\(3\le\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}=x+y+1\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\)
Ta có :
\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)
\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Vậy MinP = 2 <=> x=y=1
a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)
C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)
\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)
Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !
Ta co:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(1+\frac{9}{x+y+z}\right)^2}{3}=\frac{100}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vay \(A_{min}=\frac{100}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si, ta có \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\to xy\le\frac{1}{4}.\) Do vậy áp dụng bất đẳng thức Cô-Si
\(xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\ge2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16\cdot\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}.\)
a. Ta có \(M=\left(xy\right)^2+\frac{1}{\left(xy\right)^2}+2=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\left(\frac{17}{4}\right)^2=\frac{289}{16}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}.\) Vây giá trị bé nhất của M là \(\frac{289}{16}.\)
b. Theo bất đẳng thức Cô-Si
\(N\ge2\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2\cdot\frac{17}{4}+4\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=\frac{25}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ \(x=y=\frac{1}{2}.\)
2, rút gọn B=x^2/(y-1)+y^2/(x-1)
AM-GM : x^2/(y-1)+4(y-1) >/ 4x ; y^2/(x-1)+4(x-1) >/ 4y
=> B >/ 4x-4(y-1)+4y-4(x-1)=4x-4y+4+4y-4x+4=8
minB=8
Câu 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+1\ge2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow x+1+x+1\ge x+2\sqrt{x}+1\)
\(\Rightarrow2x+2\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(1\right)\)
Tương tự cũng có: \(2y+2\ge\left(\sqrt{y}+1\right)^2\left(2\right)\)
Nhân theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:
\(\left(2x+2\right)\left(2y+2\right)\ge\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{y}+1\right)^2\ge16\)
\(\Rightarrow4\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge16\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\ge4\)
Lại áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(x+1\right)+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge4\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\). Giờ thì áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)
ai làm cái đang cần gấp huhu
\(A=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{1}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(=1+\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{2}{xy}\)
\(=1+\frac{2\left(x+y\right)}{xy}=1+\frac{2x+2y}{xy}=1+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=1+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{y}\)
\(>=1+\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)^2}{x+y}=1+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{1}=1+8=9\)(bđt cauchy schawarz dạng engel)
dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{x}=\frac{2}{y}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
vậy min A là 9 khi x=y=\(\frac{1}{2}\)