Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước hết ta có thể giả sử q=2
* Nếu n là số nguyên dương lẻ thì ta có:
\(p^n+2^n=\left(p+2\right)\left(\frac{p^n+2^n}{p+2}\right)=r^2\) mà do r là số nguyên tố nên ta phải có:
\(p+2=\frac{p^n+2^n}{p+2}=r\)
Nếu n là số lẻ và \(n\ge3\) thì ta có: \(\frac{p^n+2^n}{p+2}>p+2\) từ đây ta dẫn đến một điều vô lý. Do đó, ta phải có: n=1.
* Nếu n là số chẵn, đặt n=2k , \(k\in Z^+\) thì từ đây ta có: \(\left(p^k\right)^2+\left(2^k\right)^2=r^2\) mà dễ thấy p , r phải phân biệt nên đây là bộ ba Phythagore nên tồn tại x,y:(x,y) = 1 và x,y khác tính chẵn lẻ thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}p^k=2xy\\2^k=x^2-y^2\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}2^k=2xy\\p^k=x^2-y^2\end{cases}}\)
Mà p là số nguyên tố nên trường hợp này không xảy ra.
Vậy ta phải có: n=1
Chúc bạn học tốt !!!
\(1,\text{Nếu p;q cùng lẻ thì:}7pq^2+p\text{ chẵn};q^3+43p^3+1\text{ lẻ}\Rightarrow\text{có ít nhất 1 số chẵn}\)
\(+,p=2\Rightarrow14q^2+2=q^3+345\Leftrightarrow14q^2=q^3+343\)
\(\Leftrightarrow q^2\left(14-q\right)=343\text{ đến đây thì :))}\)
\(+,q=2\Rightarrow29p=9+43p^3\Leftrightarrow29p-43p^3=9\text{loại}\)
\(+,p=q=2\Rightarrow7.8+2=8+43.8+1\left(\text{loại}\right)\)
Mình chỉ biết là theo định lí Fermat lớn thì pt \(x^n+y^n=z^n\) ko có nghiệm nguyên khác 0 khi \(n\ge3\) chứng đừng nói tới số nguyên tố.
Do \(p^4+q^4=r^4\)mà p, q, r là số nguyên tố nên r > q, r > p
\(\Rightarrow\)Chắc chắn r là số lẻ.
\(\Rightarrow\)p hoặc q là số chẵn.
Giả sử p chẵn \(\Rightarrow\)p = 2.
Ta có:\(16+q^4=r^4\)
\(\Leftrightarrow r^4-q^4=16\)
\(\Leftrightarrow\left(r^2-q^2\right)\left(r^2+q^2\right)=16\)
\(\Rightarrow r^2-q^2,r^2+q^2\inƯ\left(16\right)\)
Ta lại có: \(r^2-q^2< r^2+q^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}r^2-q^2=1\\r^2+q^2=16\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}r=\frac{\sqrt{34}}{2}\\q=\frac{\sqrt{30}}{2}\end{cases}}}\)(Không thỏa mãn)
Vậy không có giá trị nào của p, q, r thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta có : \(n^2-6n+5=\left(n-5\right)\left(n-1\right)\)(*)
Để (*) là số nguyên tố khi \(n-5=1\)và \(n-1\)là số nguyên tố
\(\Leftrightarrow n=6\left(tm\right)\)
Vậy n = 6 thì (*) là số nguyên tố
Cm ý đầu bằng phương pháp quy nạp:
Ta thấy n=1, n=2, n=3 đúng (sử dụng hệ thức Vi-ét);
Giả sử n=k đúng, cần chứng minh n=k+.
Ta có(xk1+xk2)(x1+x2)=xk+11+xk+12+x1x2(xk−11+xk−12)⇔xk+11+xk+12=−p(xk1+xk2)+(xk−11+xk−12)(x1k+x2k)(x1+x2)=x1k+1+x2k+1+x1x2(x1k−1+x2k−1)⇔x1k+1+x2k+1=−p(x1k+x2k)+(x1k−1+x2k−1)
−p(xk1+xk2)−p(x1k+x2k) là số nguyên.
xk−11+xk−12x1k−1+x2k−1 là số nguyên.
Suy ra đpcm.
Vẫn còn một phần nữa chưa chứng minh
gomu gomu no
khó quá,,,,,lm lm j,,sống 1 cuộc sống ko có j để hối tiếc,tự do hơn ai hết ( ACE)
Đây toán 6 nha bạn
với n =2 => \(n^2+4=8 loại\)
với n =3 => \(n^2+16= 24 loại\)
với n =4 => \(n^2+4=20 loại\)
vói n =5 => ( các bn tự thử) THõa mãn
Với n>5 => n có dạng 5k+1,5k+2,5k+3,5K+4
Sau đó tự thử nha
Ta thấy nếu p, q cùng lẻ thì r chẵn. Mà r là số nguyên tố nên r = 2 (vô lí).
Do đó p = 2 hoặc q = 2 (Do p, q là các số nguyên tố).
Không mất tính tổng quát, giả sử p = 2.
Giả sử n lớn hơn 1.
Ta có \(r^2=2^n+q^n=\left(2+q\right).A\) với \(A=2^{n-1}+2^{n-2}q+...+q^{n-1}\).
Rõ ràng A lớn hơn 1. Do đó 2 + q = r. Dễ thấy q lẻ.
Suy ra \(\left(2+q\right)^2=2^n+q^n\).
Với n = 2 ta có 4q = 0, vô lí.
Với n > 2 ta có bất đẳng thức \(2^n+q^n\ge2^3+q^3\ge\dfrac{\left(2+q\right)^3}{4}>\left(2+q\right)^2\) (vô lí).
Do đó giả sử trên là sai.
Vậy n = 1.