MT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
I
11 tháng 4 2020
Zới mọi \(x,y>0\), áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(x^2+y^2=\frac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{2xy}\le\frac{\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}}{2xy}=\frac{\left(x+y\right)^4}{8xy}\)
sử dụng kết quả trên ta thu đc các kết quả sau
\(a^2+c^2\le\frac{\left(a+c\right)^4}{8ac}=\frac{\left(a+c\right)^4bd}{8abcd}\le\frac{\left(a+c\right)^4\left(b+d\right)^2}{32abcd}\)
\(b^2+d^2\le\frac{\left(b+d\right)^4}{8bd}=\frac{\left(b+d\right)^4ac}{8abcd}\le\frac{\left(b+d\right)^4\left(c+a\right)^2}{32abcd}\)
Như zậy ta chỉ còn cần CM đc
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\ge\frac{\left(a+c\right)^2\left(b+d\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]}{32abcd}\)
BĐT trên tương đương zới
\(\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{abcd}\ge\frac{\left(a+c\right)^2\left(b+d\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]}{32abcd}\)
hay
\(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\left[\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\right]\le32\)
đến đây bạn lại sử dụng kết quả trên ta có ĐPCM nhá
Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1
22 tháng 5 2017
nhận thấy nếu áp dụng bất đẳng thức như bình thường thì ta sẽ bị ngược dấu, do đó ta dùng kỹ thuật cauchy ngược dấu
ta có:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)=a-\(\dfrac{a.b^2}{a^2+b^2}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{a.b^2}{2ab}\)=a-\(\dfrac{b}{2}\)
\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)=b-\(\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\ge\)b-\(\dfrac{b}{2b}\)=b-\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{a^2+1}\)=1-\(\dfrac{a^2}{a^2 +1}\)\(\ge\)1-\(\dfrac{a^2}{2a}\)=1-\(\dfrac{a}{2}\)
cộng từng vế của bất đẳng thức lại với nhau ta được:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\)+\(\dfrac{b^3}{b^2+1}\)+\(\dfrac{1}{a^2+1}\)\(\ge\)a-\(\dfrac{b}{2}\)+b-\(\dfrac{1}{2}\)+1-\(\dfrac{a}{2}\)=\(\dfrac{a+b+1}{2}\)
VD
2
17 tháng 6 2016
a)
\(a^4+3>4a\)
<=> \(a^4-4a+3>0\)
<=> \(a^4-a^3+a^3-a^2+a^2-a-3a+3>0\)
<=> \(a^3\left(a-1\right)+a^2\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)-3\left(a-1\right)\)
<=> \(\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+a-3\right)>0\)
17 tháng 9 2017
\(a,\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Do đó \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(đpcm)
Các câu sau tương tự
NV
0