Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(a\ge1;b\ge1;c\ge1\left(nên\right)\)
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(b-1\right)\left(c-1\right)+\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+3\ge2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow a+b+c\le5\)
khi đó \(P=3a+2b+c-1=3\left(a+b+c\right)-\left(b+2c\right)-1\le15-3-1=11\)
dấu = xảy ra khi a=3 , b=c=1
=> GTLN(P)=11
Mặt khác \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=ab+bc+ca+a^2\ge8\)
nên ta có \(P=2\left(a+b\right)\left(a+c\right)-1\ge2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge2\sqrt{16}-1=7\)
dấu = xảy ra khi a=b=1, c=3
zậy ..
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2};\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Khi \(a=b=c=1\)
ta biến đổi a^2/(a+b^2)=a^3/a(a+b^2) áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số a^3/a(a+b^2) ,a/2,a+b^2
ta đc a^3/a(a+b^2)+a/2+(a+b^2)/a>= 3a/2 tương tự b^3/b(b+c^2)+b/2+(b+c^2)/4>=3b/2
c^3/c(c+a^2)+c/2+(c+a^2)/4>=3c/2
đặt biểu thức đầu là P Ta có P +(a+b+c)/2+(a+b+c+a^2+b^2+c^2)/4>=3/2(a+...
mặt khác (a+b+c)^2=<3(a^2+b^2+c^2) => a^2+b^2+c^2>=3
thay vào =>P>=3/2 DẤU "=" XẢY RA <=> A=B=C=1
CHÚC BẠN THÀNH CÔNG
Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\) \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)
Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)
Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1
b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)
Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay
\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)
a + b + c= 1 \(\Rightarrow\)1 - a = b + c > 0
Tương tự : 1 - b > 0 ; 1 - c > 0
Mà 1 + a = 1 + ( 1 - b - c ) = ( 1- b ) + ( 1 - c ) \(\ge\)\(2\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\)
Tương tự : \(1+b\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-c\right)}\); \(1+c\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\sqrt{\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2\left(1-c\right)^2}=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\ge8\)
Dấu " = : xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy GTNN của A là 8 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cách khác:
\(A=\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(b+c\right)+\left(b+a\right)\right]\left[\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\right]}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số ta được:
\(A\ge\frac{8\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=8\)
"=" <=> a = b = c = 1/3
Kết luận..
Làm đi làm lại nhiều rồi chán không muốn viết nữa vô TKHĐ xem hình ảnh
Thay biểu thức này vào phương trình a + b + c = abc, ta được a + ac + c = ac^2.
Sắp xếp lại, ta có (a - ac)(1 - c) = 0.
Vì a > 0 nên (1 - c) phải bằng 0, từ đó suy ra c = 1.
Thay c = 1 vào biểu thức ac = b, ta được a * 1 = b hay b = a.
Vậy, để a đạt giá trị nhỏ nhất thì b và c phải thoả mãn điều kiện là b=c=1.