P4
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
0
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
AN
1
20 tháng 7 2016
Đề đúng : CMR \(a^2+ab+b^2< 1\)
Ta có : Với mọi a > b > 0 thì \(a^3+b^3>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>a^3-b^3\). Vì a - b > 0 , chia cả hai vế của bất đẳng thức cho (a-b) được :
\(a^2+ab+b^2< 1\)(đpcm)
29 tháng 6 2015
1) \(x^3-x^2+2x=x\left(x^2-x+2\right)\)bạn xem lại đề xem có sai không nha. chỗ này sau khi thu gọn và cho x ra ngoài thì phải có dạng: \(x\left(x^2-3x+2\right)=x\left(x^2-2x-x+2\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)hoặc \(x\left(x^2+3x+2\right)=x\left(x^2+2x+x+2\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
nó là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => trong đó phỉa có 1 số chia hết cho 2, có một số chia hết cho 3. vì 3,2 ngtố cùng nhau =>tích của 3 số ltiếp sẽ chia hết cho 3.2=6 => chia hết cho 6 với mọi x
2) \(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)=a^2-\left(b-c\right)^2=\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)
mình làm đến đây thì k biết giải thích sao nữa :( thôi cứ tick đúng cho mình nha
ML
29 tháng 6 2015
Câu 1 Sai đề. Chỉ cần thay x = 1,2,3 ta thấy ngay sai
Câu 2 sai đề. chứng minh như sau;
Thay a,b,c là số dài 3 cạnh của 1 tam giác đều có cạnh 0,5 (nhỏ hơn 1 là đủ)
\(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)>c\)\(\Leftrightarrow a^2-\left(b-c\right)^2>c\)
Với a = b = c = 0,5 thì điều trên tương đương \(0,5^2-\left(0,5-0,5\right)^2>0,5\)
\(\Leftrightarrow0,25>0,5\) => vô lí
QV
1
MN
15 tháng 8 2020
1) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-ab+a+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab+2a+2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2+2a+1\right)+\left(b^2+2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=-1\)
2/ \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
Áp dụng bđt cosi : \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=4\)(ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
3/ \(\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)
Vì \(\hept{\begin{cases}a^2+a+1=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\\a^2-a+1=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)(ĐPCM)
PN
0
CD
1
1 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=\frac{1}{2}\)
giả sử a+b </ 1
khi đó (a+b)2=a2+b2+2ab </ 1 => 1+2ab </ 1 (do a2+b2=1)
=>2ab </ 1-1 = 0 điều này là vô lí vì a,b > 0
=>giả sử sai ,ta có đpcm