Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b=c+d\Leftrightarrow a=c+d-b\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+d^2-2bc+2cd-2bd\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2+2cd+d^2\right)+\left(d^2-2bd+b^2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=\left(b-c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(b-d\right)^2\)Vì a,b,c thuộc tập số nghuyên nên ta có điều phải chứng minh.
\(a\ge b\Leftrightarrow a^2\ge b^2\Leftrightarrow a^2-b^2\ge0\)
\(c\ge d\Leftrightarrow c^2\ge d^2\Leftrightarrow c^2-d^2\ge0\)
\(-ab+ac\le0\)
\(-ad-cd\le0\)
\(-bc+bd\le0\)
\(\Rightarrow2\left(-ab+ac-ad-cd-bc+bd\right)\le0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
Bằng nhau khi và chỉ khi a = b = c = d
Dấu lớn xảy ra khi a> b >c > d
***Mình chẳng hiểu bài làm của mình đâu. Mong bạn thông cảm. Bạn mà hiểu được thì qủa là thiên tài 
***********
Sửa đề: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\) thì \(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\) là số chính phương
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{abc}\Rightarrow ab+bc+ca=1\left(abc\ne0\right)\)
Khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}1+a^2=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\1+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\\1+c^2=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}}\)
Nhân vế với vế ta được:
\(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
=> M là số chính phương
1) A=4*\(\frac{10^{2n}-1}{9}\) B=\(2\cdot\frac{10^{n+1}-1}{9}\) C=\(8\cdot\frac{10^n-1}{9}\)
đặt 10^n=X => A+B+C+7=(4*x^2-4+2*10*x-2+8x-8+63)/9=(4x^2+28x+49)/9
=> A+B+C+7=\(\frac{\left(2x+7\right)^2}{3^2}\)
2) = 4mn((m^2-1)-(n^2-1))=4mn(m+1)(m-1)-4mn(n-1)(n+1)
mà m,n nguyên => m-1,m,m+1 và n-1,n,n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
do đó 4mn(m^2-n^2) chia hết 6*4=24
a)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)
\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)
\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)
b)
Xét hiệu
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)
\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
c)
Xét hiệu:
\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)
\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)
\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
d)
Xét hiệu:
\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)
\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)
\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
2)
Xét hiệu:
\(A^2+B^2+C^2+D^2+4-2A-2B-2C-2D\)
\(=\left(A^2-2A+1\right)+\left(B^2-2B+1\right)+\left(C^2-2C+1\right)+\left(D^2-2D+1\right)\)
\(=\left(A-1\right)^2+\left(B-1\right)^2+\left(C-1\right)^2+\left(D-1\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
Vậy \(A^2+B^2+C^2+D^2+4\ge2\left(A+B+C+D\right)\)
1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{BC}{A}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{BC}{A}}=2B\) (1)
\(\dfrac{BC}{A}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{BC}{A}.\dfrac{AC}{B}}=2C\) (2)
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{AC}{B}}=2A\) (3)
Từ (1)(2)(3) cộng vế theo vế:
\(2\left(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\right)\ge2\left(A+B+C\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\ge A+B+C\)
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
Do \(x,y\inℤ^+\) nên \(x,y\ge1\)
\(2^x+1=3^y\).Dễ thấy \(x\le y\).Đặt \(y=x+m\left(m\ge0\right)\) và \(m=y-x\)
Ta có: \(2^x+1=3^{x+m}\)
+Với \(x=y=1\Rightarrow2^1+1=3^{1+0}\left(TM\right)\)
+Với \(1\le x< y\Rightarrow3\le2^x+1< 2^y+1< 3^y\left(KTM\right)\)
Vậy \(x=y=1\) (p/s: không chắc cho lắm,tui mới học lớp 7 thoy)
VD: 1+3=2+2
12+32+22+22=18 không phải số cp
=> ĐỀ SAI
mình cũng không biết nữa tại đề này thầy mình cho mình cũng thử nhiều lần thấy sai nên mới hỏi thử