TT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
8 tháng 2 2020
a.
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(luôn đúng)
b. Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(a^2+b^2\ge2ab,a^2+1\ge2a,b^2+1\ge2b\)\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
c. Tương tự câu b
8 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT Cô si ta có
i. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}},\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
k. Tương tự câu i
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
18 tháng 8 2019
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
18 tháng 8 2019
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2017
Lời giải:
TH1 : Nếu \(a+b\geq 4\);
\(5ab+5bc+5ac=5ab+5(a+b)(3-a-b)=15(a+b)-5(a^2+b^2)-5ab\)
\(=15(a+b)-\frac{5}{2}(a+b)^2-\frac{5}{2}(a^2+b^2)\leq 15(a+b)-\frac{5}{2}(a+b)^2-\frac{5}{4}(a+b)^2\)
\(\Leftrightarrow 5(ab+bc+ac)\leq 15(a+b)-\frac{15}{4}(a+b)^2\leq 15(a+b)-15(a+b)=0\)
Mà \(3(abc+4)\geq 0\) vì \(abc\geq -4\)
Do đó ta có đpcm.
TH2: Nếu \(a+b\leq 4\)
Không mất tổng quát giả sử \(c=\min(a,b,c)\Rightarrow c\leq 1\Rightarrow a+b\geq 2\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ ab=y\end{matrix}\right.\)
Khi đó, \(c=3-(a+b)=3-x\). Bài toán chuyển về chứng minh:
\(3y(3-x)+12\geq 5y+5x(3-x)\)
\(\Leftrightarrow 5x^2+4y+12\geq 3xy+15x\)
\(\Leftrightarrow 3y(4-x)+3(x-1)(x-4)+2(x^2-4y)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 3(4-x)(y+1-x)+2(x^2-4y)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 3(4-a-b)(a-1)(b-1)+2(a-b)^2\geq 0\) \((1)\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a-1=m\\ b-1=n\end{matrix}\right.\)
\((1)\Leftrightarrow 3(2-m-n)mn+2(m-n)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2(m^2+n^2)+2mn-3mn(m+n)\geq 0\) \((\star)\)
Thấy rằng, \(m+n=a+b-2\geq 0\)
\(\bullet\)Nếu \(mn\leq 0\Rightarrow 3mn(m+n)\leq 0\)
\(\Rightarrow 2(m^2+n^2)+2mn-3mn(m+n)\geq 2(m^2+n^2)+2mn=m^2+n^2+(m+n)^2\geq 0\) , tức \((\star)\) đúng
\(\bullet\) Nếu \(mn\geq 0\)
Vì \(a+b\leq 4\Rightarrow m+n\leq 2\Rightarrow mn(m+n)\leq 2mn\)
Do đó, \(2(m^2+n^2)+2mn-3mn(m+n)\geq 2(m^2+n^2)+2mn-6mn=2(m-n)^2\geq 0\)
Tức \((\star)\) đúng.
Vậy \((\star)\) đúng, ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(2,2,-1)\) và hoán vị.
23 tháng 9 2017
T5/483 Toán tuổi thơ số 483-9/2017, ngại lật báo quá ko biết nó có đáp án k nữa .-.
*)Xét \(ab+bc+ca<0\) hiển nhiên đúng
*)Ta cần chứng minh \(ab+bc+ca\ge 0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3u\\ab+bc+ca=3v^2\\abc=w^3\end{matrix}\right.\). Ta c/m 1 BĐT tuyến tính của \(w^3\)
Xảy ra các trường hợp sau đây
+)\(w^3=4\) *Đúng*
+)\(b=a;c=3-2a\). Khi đó \(a^2(3-2a)\geq-4\)
\(\Leftrightarrow (a-2)(2a^2+a+2)\leq0\)
Với \(a\le 2\) thì ta cần cm \(3a^2(3-2a)+12\geq5(a^2+2a(3-2a))\)
\(\Leftrightarrow (a-1)^2(2-a)\geq0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2020
a/ BĐT sai, với \(c=0\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a}{b}\) (vô lý)
b/ \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab+ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b+c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
c/ Bạn coi lại đề, trong ngoặc bên phải là \(a^2b\) hay \(ab^2\)?
d/ \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
e/ Thiếu điều kiện, BĐT này chỉ đúng khi \(a+b\ge0\) (hoặc a;b không âm)
N
21 tháng 8 2016
Ta có:\(\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)=b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}=\sqrt{\frac{b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}\)
Tương tự\(\Rightarrow\)VT=\(\Sigma\sqrt{\frac{b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}\)
Đặt \(x=a\left(b^2+c^2\right)\);\(y=b\left(a^2+c^2\right)\);\(z=c\left(b^2+a^2\right)\)
VT=\(\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{x+z}{y}}\ge3\sqrt[6]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\ge3\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu''='' xra\(\Leftrightarrow\)a=b=c
\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}\left(a+c\right)^2+\frac{\left(a-c-2b\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = -c
Vậy..
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab-2bc-2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=-c\)