Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{c+a}}.\sqrt{\frac{b}{c+b}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
Tương tự, ta có
\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+a}\right)}\)
Cộng vế theo vế của 3 bđt ta được đpcm
Èo, căng thế:
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\Sigma a+\Sigma\sqrt{ab}\)(chú ý cái giả thiết a + b + c = 1)
Thật vậy áp dụng BĐT Bunyakovski: \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\sqrt{\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]}\)
\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{a^2}+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\). Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế có ngay đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3
Ta có:\(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)
Tương tự ta có:
\(VT\le\frac{1}{\sqrt{3ab\left(a+2c\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3bc\left(b+2a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3ca\left(c+2b\right)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{\frac{c}{c+2a}}+\sqrt{\frac{a}{b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{2b+c}}\right)\)
Ta cũng có:\(a+2c=a+c+c\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+2\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+2\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}+2\sqrt{b}}\)
Đặt \(x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}};xyz=1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\)
Giả sử \(xy\le1\) thì \(z\ge1\)
Ta có: \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\frac{x}{2}+1}+\frac{1}{\frac{y}{2}+1}\right)+\frac{1}{z+2}\)
\(\le\frac{1}{1\frac{\sqrt{xy}}{2}}+\frac{1}{z+2}\le1\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=1\)
ý a, áp dụng BĐT cô si có
a + b >= căn ab dấu = xay ra a=b
b + c >= căn bc dau = xay ra khi b=c
c+a >= căn ac dau = xay ra khi a=c
công tung ve vao. rut gon ta dc điều phải chung minh
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: \(P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}\)\(=\frac{bc\sqrt{\left(a-1\right).1}+\frac{1}{2}ca\sqrt{4.\left(b-4\right)}+\frac{1}{3}ab\sqrt{9.\left(c-9\right)}}{abc}\)\(\le\frac{bc.\frac{\left(a-1\right)+1}{2}+\frac{1}{2}ca.\frac{4+\left(b-4\right)}{2}+\frac{1}{3}ab.\frac{9+\left(c-9\right)}{2}}{abc}\)\(=\frac{\frac{1}{2}abc+\frac{1}{4}abc+\frac{1}{6}abc}{abc}=\frac{\frac{11}{12}abc}{abc}=\frac{11}{12}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 8; c = 18
1, Ta có \(abc=a+b+c+2\ge4\sqrt[4]{abc.2}\)
<=>\(abc\ge8\)
BĐT <=> \(ab+bc+ac\ge2\left(abc-2\right)\)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2-\frac{2}{abc}\)
Áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
Khi đó cần CM \(\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge2-\frac{2}{abc}\)
Đặt \(\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=x\)=> \(0< x\le2\)
BĐT<=> \(\frac{3}{x}\ge2-\frac{2}{x^3}\)
<=>\(\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x}-2\ge0\)
<=> \(2+3x^2-2x^3\ge0\)
<=> \(\left(2-x\right)\left(2x^2+x+1\right)\ge0\)(luôn đúng với \(0< x\le2\))
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
2. BĐT <=> \(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\le\frac{3}{2}\)
Đặt \(a=\frac{y+z}{x};b=\frac{x+z}{y}\left(x.y,z>0\right)\)
=> \(c=\frac{a+b+2}{ab-1}=\frac{\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+2}{\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xy}-1}=\frac{x^2+y^2+z\left(x+y\right)+2xy}{z\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2+z\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y}{z}\)
Khi đó BĐT <=> \(\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xy}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{yz}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{zx}}}\le\frac{3}{2}\)
<=> \(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\le\frac{3}{2}\)
Áp dụng cosi ta có
\(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\)
Tương tự=> \(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)=> \(a=b=c=2\)
5-6..thui..=>ko..hiểu
Mình ko biết chắc đúng hết không,có gì mong bạn góp ý cho mình nha:
Ta có \(a+b+c=3\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge abc\)
Ta có:\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\left(abc\right)^2}}=3\sqrt[3]{abc}=3\left(1\right)\)
Ta lại có \(\sqrt{abc}\ge\sqrt{1}=1\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)vs\left(2\right)\)lại ta có \(đpcm\)
Dấu \("="\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)