Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết ta có:
\(\left(a+b+c\right)^3=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)
\(\frac{3}{ab+bc+ac}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+c}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+6\)
\(\frac{2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}=2+\frac{4\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương ta có:
\(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\ge6+2+2\sqrt{\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)4\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=8+2\sqrt{12}\)
\(>8+2\sqrt{9}=14\)
3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
cảm ơn bạn nhiều, bạn có thể giúp mình hai câu kia nữa được không
Xin lỗi lúc này do thày nhìn nhầm nên nghĩ câu 2 sai đề. Để đền bù thiệt hại, xin giải lại cả hai bài cho em
Cả hai bài toán này đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. Em xem link dưới đây để biết rõ hơn: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html
Câu 1. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ac}+\frac{c}{2c^2+ab}=\frac{1}{2a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2b+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2c+\frac{ab}{c}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)+\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}}=\frac{9abc}{2abc\left(a+b+c\right)+\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)
\(=\frac{9abc}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{9abc}{9}=abc.\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 2. Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz
\(\frac{8}{2a+b}=\frac{4}{a+\frac{b}{2}}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{b}{2}}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}.\)
Tương tự, \(\frac{48}{3b+2c}=\frac{16}{b+\frac{2c}{3}}\le4\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\frac{2c}{3}}\right)=\frac{4}{b}+\frac{6}{c},\) và \(\frac{12}{c+3a}=\frac{4}{\frac{c}{3}+a}\le\frac{1}{\frac{c}{3}}+\frac{1}{a}=\frac{3}{c}+\frac{1}{a}.\)
Cộng ba bất đẳng thức lại ta được
\(\frac{8}{2a+b}+\frac{48}{3b+2c}+\frac{12}{c+3a}\le\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)+\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a}+\frac{6}{b}+\frac{9}{c}.\) (ĐPCM).
Đặt t = ab +bc+ ac => a2+ b2+ c2=1 - 2t
theo BĐT AM-GM : ab + bc +ac \(\le\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}=a^2+b^2+c^2\)
suy ra : t = ab +bc+ ac = \(\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+\left(ab+bc+ac\right)}{3}\le\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Từ đó ta đã đưa bài toán trên về dạng đơn giản hơn : CMR : \(\frac{3}{t}+\frac{2}{1-2t}\ge14\)(Với \(0\le t\le\frac{1}{3}\))
\(\Leftrightarrow3\left(1-2t\right)+2t\ge14\left(1-2t\right)\)
\(\Leftrightarrow3-4t\ge14-28t^2\Leftrightarrow3-18t+28t^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(1-3t\right)^2+t^2\ge0\)(Luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu = không xảy ra.
Câu hỏi của TRẦN HỮU ĐẠT - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(VT=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2016}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2016}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\) \(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{6048}{\left(a+b+c\right)^2}\ge673\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT=\frac{\left(\sqrt{6}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{8+4\sqrt{3}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(=8+4\sqrt{3}=8+\sqrt{48}>8+\sqrt{36}=8+6=14\)
Ta có đpcm
\(0< a,b,c< 1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}ab< a;a^2< a\\bc< b;b^2< b\\ca< c;c^2< c\end{cases}}\)
\(a\ge b\ge c\)
\(\frac{1}{3}\le a< 1\Rightarrow\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
aaaaaaaa bỏ mấy đoạn trên đi nha >_< vẽ bùa đó, lấy mỗi đoạn dưới thôi