Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 : đã cm bên kia
Bài 1: :|
we had điều này:
\(2=\frac{2014}{x}+\frac{2014}{y}+\frac{2014}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2014}{x}+\frac{y-2014}{y}+\frac{z-204}{z}=1\)
Xòng! bunyakovsky
P/s : Bệnh lười kinh niên tái phát nên ít khi ol sorry :<
1.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương ta có:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
tương tự, ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=2a\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\) (ĐPCM)
ý b nghĩ đã ~.~
2.
P = \(\frac{x^2}{2-x}+\frac{y^2}{2-y}+\frac{z^2}{2-z}\)
Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM - GM như trên nhé bạn!
a) Giả sử bất đẳng thức trên là đúng \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)\(\Rightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c), ta có ĐPCM câu b tương tự nha bn!
Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
Khi a=b=c
Bài 3:
Áp dụng BĐT C-S dạng ENgel ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có ĐPCM
Khi x=y=z
Ta có bđt : \(\frac{m^2}{n}+\frac{p^2}{q}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)\(\left(m,n,p,q>0\right)\)(1)
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{m^2q+p^2n}{nq}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\)
\(\Leftrightarrow m^2n\left(n+q\right)+p^2n\left(n+q\right)\ge nq\left(m+p\right)^2\)
\(\Leftrightarrow............\)(Phá tung ra + chuyển vế)
\(\Leftrightarrow\left(mq-pn\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Áp dụng (1) ta được
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)(ĐPCM)
Dấu "=" khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
P/S: nếu hỏi tại sao chỗ bđt phụ lại đặt m,n,p,q khó nhìn thì hãy bảo tại cái đề bài đã có a,b,x,y rồi -.-
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\)\(\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Hay \(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Chia hai vế của BĐT cho (a + b + c),ta có đpcm: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)