BC
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HK
0
HK
0
HK
0
PD
3
S
10 tháng 8 2018
tham khảo Câu hỏi của Ngô Đức Duy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
25 tháng 9 2018
Ta có : \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)( do a + b + c = 0 )
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\)\(3abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+a^3\left(b^2+c^2\right)+b^3\left(a^2+c^2\right)\)\(+c^3\left(a^2+b^2\right)=3abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+a^3\left(a^2-2bc\right)+b^3\left(b^2-2ac\right)\)\(+c^3\left(c^2-2ab\right)=3abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
( do \(b^2+c^2=\left(b+c\right)^2-2bc=\left(-a\right)^2-2bc=a^2-2bc\))
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-2a^3bc-2b^3ac-2c^3ab\)\(=3abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-2abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=3abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
VM
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Lời giải:
a) Thay $a+b=-c$ ta có:
\(a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)-a^2b^2(a+b)-b^2c^2(b+c)-c^2a^2(c+a)\)
\(=(a^2+b^2+c^2)[(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3]+a^2b^2c+b^2c^2a+c^2a^2b\)
\(=(a^2+b^2+c^2)(-c^3+3abc+c^3]+abc(ab+bc+ac)\)
\(=abc(3a^2+3b^2+3c^2+ab+bc+ac)\)
\(=abc.\left(\frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{2}\right)\)
\(=abc[\frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{(a+b+c)^2}{2}]=\frac{5abc(a^2+b^2+c^2)}{2}\) (đpcm)
b) Áp dụng kết quả $a^3+b^3+c^3=3abc$ đã làm ở phần a và điều kiện đề bài $a+b+c=0$ ta có:
\(a^7+b^7+c^7=(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)-a^3b^3(a+b)-b^3c^3(b+c)-c^3a^3(c+a)\)
\(=3abc(a^4+b^4+c^4)+a^3b^3c+b^3c^3a+c^3a^3b\)
\(=abc(3a^4+3b^4+3c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(1)\)
Mà:
\(a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8abc(a+b+c)\)
\(=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4+c^4}{2}=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow a^7+b^7+c^7=abc(3a^4+3b^4+3c^4+\frac{a^4+b^4+c^4}{2})=\frac{7abc(a^4+b^4+c^4)}{2}$ (đpcm)