Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\)
\(=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si :
\(\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)
Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta có :
\(VT\le\frac{\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)}{2}\)
\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Bài này không đơn giản biến đổi tương đương được đâu em.
Theo giả thiết \(2015=a+b+c\to2015a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right).\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki: \(2015a+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2.\)
Vì vậy mà \(\frac{a}{a+\sqrt{2015a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.\)
Tương tự ta có \(\frac{b}{b+\sqrt{2015b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}},\) và \(\frac{c}{c+\sqrt{2015c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.\) Cộng cả ba bất đẳng thức lại ta được ngay điều phải chứng minh.
Vì abc = 1 nên ta có thể đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\). Khi đó:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\)
\(\Rightarrow VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{yz}{xy+xz+2yz}\right)\left(\text{ }\right)\)(Theo BĐT Cauchy-Schwarz)
\(\le\frac{3}{4}\left[\Sigma_{cyc}yz\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)\right]=\frac{3}{4}\left(\Sigma_{cyc}\frac{xy+yz}{xy+yz}\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Ta có : \(\sqrt{2015a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có : \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\right)\left(\sqrt{a}^2+\sqrt{c}^2\right)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2015a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}^2}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(\Rightarrow\Sigma\frac{a}{a+\sqrt{2015a+bc}}\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)