Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)
\(A< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)
\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(=1+1-\frac{1}{50}\)
\(=2-\frac{1}{50}< 2\)
\(\Rightarrow A< 2\)
b) Ta thấy : 21 = 3 .7 ( 3 ; 7 ) = 1
để chứng minh B \(⋮\)21 , ta cần chứng minh B \(⋮\)3 và 7
Ta có :
B = 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 230
B = ( 2 + 22 ) + ( 23 + 24 ) + ... + ( 229 + 230 )
B = 2 . ( 1 + 2 ) + 23 . ( 1 + 2 ) + ... + 229 . ( 1 + 2 )
B = 2 . 3 + 23 . 3 + ... + 229 . 3
B = ( 2 + 23 + ... + 229 ) . 3 \(⋮\)3 ( 1 )
Lại có : B = 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 230
B = ( 21 + 22 + 23 ) + ( 24 + 25 + 26 ) + ... + ( 228 + 229 + 230 )
B = 2 . ( 1 + 2 + 22 ) + 24 . ( 1 + 2 + 22 ) + ... + 228 . ( 1 + 2 + 22 )
B = 2 . 7 + 24 . 7 + ... + 228 . 7
B = ( 2 + 24 + ... + 228 ) . 7 \(⋮\)7 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)B \(⋮\)21
B = 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... + 1/1002
B < 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/99.100
B < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100
B < 1 - 1/100 < 1
Với \(n>2\) ta có: \(\dfrac{n+\left(n+1\right)}{n^2.\left(n+1\right)^2}=\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\left[\dfrac{n}{n\left(n+1\right)}+\dfrac{n+1}{n\left(n+1\right)}\right]=\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}\right)< \dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)
\(\Rightarrow A< 1-\dfrac{1}{10}< 1\) (đpcm)
Chứng tỏ\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.........+\frac{1}{100^2}\) <\(\frac{1}{2}\)
Giờ tớ đặt cụm cần chứng minh là A
Ta có:
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)
\(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5}\)
........................
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
=>\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+..........+\frac{1}{100^2}\) <\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+.........+\frac{1}{99.100}\)
=> A < \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+.......+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
=> A <\(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\)
=> A<\(\frac{50}{100}-\frac{1}{100}\)
=> A<\(\frac{49}{100}\) <\(\frac{50}{100}\) =\(\frac{1}{2}\)
=> A<\(\frac{1}{2}\)
=>a<\(\dfrac{1}{1.2}\)+\(\dfrac{1}{2.3}\)+...+\(\dfrac{1}{99.100}\)
=>a<1-\(\dfrac{1}{100}\)<\(\dfrac{3}{4}\)
=>a<\(\dfrac{3}{4}\)