Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\frac{a+3}{3a+bc}+\frac{b+3}{3b+ca}+\frac{c+3}{3c+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{\left(a+b+c\right)a+bc}+\frac{a+2b+c}{\left(a+b+c\right)b+ca}+\frac{a+b+2c}{\left(a+b+c\right)c+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{a^2+ab+ca+bc}+\frac{a+2b+c}{ab+b^2+bc+ca}+\frac{a+b+2c}{ac+bc+c^2+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{a+2b+c}{b\left(b+a\right)+c\left(b+a\right)}+\frac{a+b+2c}{c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+2b+c}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b+2c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)\left(a+c\right)\le\left(\frac{2a+b+c}{2}\right)^2=\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{4}\\\left(b+a\right)\left(b+c\right)\le\left(\frac{a+2b+c}{2}\right)^2=\frac{\left(a+2b+c\right)^2}{4}\\\left(a+c\right)\left(b+c\right)\le\left(\frac{a+b+2c}{2}\right)^2=\frac{\left(a+b+2c\right)^2}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{4\left(2a+b+c\right)}{\left(2a+b+c\right)^2}=\frac{4}{2a+b+c}\\\frac{a+2b+c}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{4\left(a+2b+c\right)}{\left(a+2b+c\right)^2}=\frac{4}{a+2b+c}\\\frac{a+b+2c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{4\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b+2c\right)^2}=\frac{4}{a+b+2c}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
Xét \(\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}\)
\(=\frac{36}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{36}{12}=3\)
Mà \(VT\ge\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+3}{3a+bc}+\frac{b+3}{3b+ca}+\frac{c+3}{3c+ab}\ge3\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\), khi đó \(xyz=1\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)
Ta viết lại bất đẳng thức như sau:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Bình phương 2 vế ta được:
\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\left(x+y\right)^2\left(x+\frac{1}{y}\right)^2\ge x+1^4\)hay ta được bất đẳng thức:
\(\left(x+y\right)^2\left(x+xz\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\Leftrightarrow x^2\left(x+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\)
Tương tự ta được các bất đẳng thức:
\(y^2\left(y+z\right)^2\left(1+x\right)^2\ge\left(y+1\right)^4;z^2\left(z+x\right)^2\left(1+y\right)^2\ge\left(z+1\right)^4\)
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)
\(\ge\left(x+1\right)^4\left(y+1\right)^4\left(z+1\right)^4\)
Hay:
\(\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)
Mặt khác, ta lại có:
\(\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\cdot8\sqrt{xyz}\)
\(=8\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
Do đó ta được bất đẳng thức:
\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
Bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
\(BDT\Leftrightarrow2a^4b+2b^4c+2c^4a+3ab^4+3bc^4+3ca^4\ge5a^2b^2c+5a^2bc^2+5ab^2c^2\)
Ta chứng minh được \(ab^4+bc^4+ca^4\ge a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
\(VT=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ac}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=VP\)
Vậy ta cần chứng minh \(2a^4b+2b^4c+2c^4a+2ab^4+2bc^4+2ca^4\ge4a^2b^2c+4a^2bc^2+4ab^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(2c^3+bc^2-b^2c+ac^2-a^2c+3ab^2+3a^2b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Xét: \(\frac{a+3}{3a+bc}+\frac{b+3}{3b+ca}+\frac{c+3}{3c+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{\left(a+b+c\right)a+bc}+\frac{a+2b+c}{\left(a+b+c\right)b+ca}+\frac{a+b+2c}{\left(a+b+c\right)c+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{a^2+ab+ca+bc}+\frac{a+2b+c}{ab+b^2+bc+ca}+\frac{a+b+2c}{ac+bc+c^2+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\frac{a+2b+c}{b\left(b+a\right)+c\left(b+a\right)}+\frac{a+b+2c}{c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+2b+c}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b+2c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(a+c\right)\le\left(\frac{2a+b+c}{2}\right)^2=\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{4}\\\left(b+a\right)\left(b+c\right)\le\left(\frac{a+2b+c}{2}\right)^2=\frac{\left(a+2b+c\right)^2}{4}\\\left(a+c\right)\left(b+c\right)\le\left(\frac{a+b+2c}{2}\right)^2=\frac{\left(a+b+2c\right)^2}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\frac{4\left(2a+b+c\right)}{\left(2a+b+c\right)^2}=\frac{4}{2a+b+c}\\\frac{a+2b+c}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{4\left(a+2b+c\right)}{\left(a+2b+c\right)^2}=\frac{4}{a+2b+c}\\\frac{a+b+2c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{4\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b+2c\right)^2}=\frac{4}{a+b+2c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
Xét: \(\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}=\frac{36}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{36}{12}=3\)
Mà \(VT\ge\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+3}{3a+bc}+\frac{b+3}{3b+ca}+\frac{c+3}{3c+ab}\ge3\) ( đpcm )
Ta có:
\(3a+bc=(a+b+c)a+bc=(a+c)(a+b)\)
\(\Rightarrow \sum \frac{a+3}{3a+bc}\)\(= \sum \frac{(a+c)+(a+b)}{(a+c)(a+b)}=2 \sum \frac{1}{a+b}\geq 2.\frac{9}{2(a+b+c)}=3\)
Ta có:
\(\frac{2a^5+3b^5}{ab}\ge5a^3+10b^3-10ab^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\left(2a+3b\right)\ge0\).Tương tự với 2 cái còn lại được:
\(\frac{2a^5+3b^5}{ab}+\frac{2b^5+3c^5}{cb}+\frac{2c^5+3a^5}{ab}\ge15\left(a^3+b^3+c^3\right)-10\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
=>Đpcm (vì ab2+bc2+ca2=3)
Dấu = khi a=b=c=1
bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi hoặc bdt holder ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\) câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .
Bài 1:Đặt VT=A
Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)
Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự với 2 cái còn lại
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
Tương tự suy ra
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)
áp dụng đẳng thức AM - GM cho 7 số :3 số \(a^7,3\) số \(b^7\) và số 1,ta có
\(3a^7+3b^7+1\ge7^7\sqrt{a^{21}.b^{21}1}=7a^7b^7\left(1\right)\)
tương tự
\(3a^7+3b^7+1\ge7b^3c^3\left(2\right)\);\(3c^7+3a^7+1\ge7c^3a^3\left(3\right)\)
công thức về các bất đẳng thức (1);(2);(3) ta được
\(6\left(a^7+b^7+c^7\right)+3\ge7\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(\Leftrightarrow6\left(a^7+b^7+c^7\right)+3\ge7.3\)
\(\Leftrightarrow a^7+b^7+c^7\ge3\left(đpcm\right)\)