Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
Góc $a$ nhọn nên $\cos a,\sin a>0$
\(\cos a-\sin a=\frac{1}{5}(1)\Rightarrow (\sin a-\cos a)^2=\frac{1}{25}\Leftrightarrow \sin ^2a+\cos ^2a-2\sin a\cos a=\frac{1}{25}\)
\(\Leftrightarrow 1-2\sin a\cos a=\frac{1}{25}\Rightarrow 2\sin a\cos a=\frac{24}{25}\)
\(\Rightarrow (\sin a+\cos a)^2=\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a=1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}\)
\(\Rightarrow \sin a+\cos a=\frac{7}{5}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \cos a=\frac{4}{5}; \sin a=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \cot a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}\)
b) Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $A,B$ là góc nhọn. Khi đó các thông số lượng giác của nó dương.
\(\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}\)
\(\cos ^2A+\sin ^2A=1\Rightarrow \sin ^2A=1-\cos ^2A=1-(\frac{5}{13})^2\)
\(\Rightarrow \sin A=\frac{12}{13}\)
\(\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{5}{13}:\frac{12}{13}=\frac{5}{12}\)
\(\Rightarrow \tan B=\frac{AC}{BC}=\cot A=\frac{5}{12}\)
Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.
Ta có:
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm
trong đó với , ta có:
Tương tự, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức và , ta được:
Khi đó, ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau: (bất đẳng thức Cauchy cho ba số )
Hay
Mà đã được chứng minh ở câu nên luôn đúng với mọi
Dấu xảy ra
Vậy,
Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)
cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)
3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)
từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của nguyen thi khanh nguyen - Toán lớp 9 | Học trực tuyến