Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Thay xyz = 1 , ta có :
\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+xz}=\frac{z}{z+xz+xyz}+\frac{xz}{xz+xyz+xyz^2}+\frac{1}{1+z+xz}\)
\(=\frac{z}{z+xz+1}+\frac{xz}{xz+1+z}+\frac{1}{z+xz+1}=\frac{z+xz+1}{z+xz+1}=1\)
2) Phân tích A thành nhân tử được \(A=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)
Vì a + b + c = 0 nên A = 0
3) Phân tích A thành \(\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)
3) áp dụng đẳng thức \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
<=>\(1-3xyz=1\left(1-xy-yz-zx\right)\)
<=>\(3xyz=xy+yz+zx\)
mặt khác ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=1\)
<=>\(1+2xy+2yz+2zx=1\)
<=> \(xy+yz+zx=0\)
do đó 3xyz=0<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\\z=0\end{cases}}\)
lần lượt thay x;y;z vào hệ ta có các cặp nghiệm (x;y;z)=(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)
do đó x^2017+y^2017+z^2017=1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
b/ Áp dụng BĐT ở câu a:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\)
Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ \(2p=a+b+c=18\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{18^2}{3}=108\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)
Ta có:
\(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=-b;b=-c;c=-a\)
Với \(a=-b\)ta có
\(a^3+b^3+c^3=1\)
\(\Leftrightarrow c^3=1\)
\(\Leftrightarrow c=1\)
Thì ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại được ĐPCM
2,
A=a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b)
=a4(b-c)+b4[c-b)-(a-b)]+c4(a-b)
=a4(b-c)-b4(b-c)+c4(a-b)-b4(a-b)
=(a4-b4)(b-c)+(c4-b4)(a-b)
=(a-b)(b-c)(a+b)(a2+b2)-(a-b)(b-c)(b+c)(b2+c2)
=(a-b)(b-c)(a3+b3+a2b+ab2-b3-c3-b2c-bc2)
=(a-b)(b-c)(a2c+b2c+c3+abc+bc2+c2a-a3-ab2-ac2-a2b-abc-a2c)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)
=1/2(a-b)(b-c)(c-a)(2a2+2b2+2c2+2ab+2bc+2ca)
=1/2(a-b)(b-c)(c-a)[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2] khác 0
Theo mình 4 dòng cuối bài giải của Nguyễn Thiều Công Thành phải có dấu "-" (âm) ở trước biểu thức