NL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PH
1
31 tháng 3 2020
\(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\le1\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Rightarrow0< x+y\le\sqrt{2}\)
HH
24 tháng 6 2020
Ta có : x + y = 1
=> x = 1 - y
y = 1 - x , 1 - ( x + y ) = 0
Khi đó : \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{1-y}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}-\frac{1-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-1}{y^2+y+1}+\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-\left(x^2+x+1\right)+\left(y^2+y+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-x^2-x-1+y^2+y+1}{x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y^2+y+1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-\left(x^2-y^2\right)-\left(x-y\right)}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+\left(x+y\right)+1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(-x-y-1\right)}{x^2y^2+xy.1+x^2+y^2+xy+1+1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(-x-y-1\right)}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2+2}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-\left(x-y-1\right)\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-\left(x-y-1\right)\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{-\left(x-y-1\right)\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left[-\left(x+y+1\right)+2\right]}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(1-x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left[1-\left(x+4\right)\right]}{x^2y^2+3}\)
\(=\frac{\left(x-y\right).0}{x^2y^2+3}=0\)
Vậy : \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\left(đpcm\right)\)
K
0
5 tháng 11 2018
x + y + z = 0 \(\Rightarrow\) x = - ( y + z )
\(\Rightarrow\) \(x^2\) = \((y+z)^2\) = \(y^2\) + \(z^2 \) + 2yz
\(\Rightarrow\) \(x^2\) - \(y^2\) - \(z^2 \) = 2xy
\(\Rightarrow\) (\(x^2-y^2-z^2\) )\(^2 \) = \((2xy)^2\)= \(4x^2y^2\)
\(\Rightarrow\) \(x^4 + y^4 + z^4\) - \(2x^2y^2\) - \(2x^2z^2\) = \(4x^2y^2\)
\(\Rightarrow\) \(x^4+y^4+z^4\) = \(4y^2z^2\) - \(2y^2z^2\) + \(2x^2y^2\) = \(2x^2y^2 + 2y^2z^2+ 2x^2z^2\)
\(\Rightarrow\) 2 (\(x^4+y^4+z^4\) ) = \((x^2+y^2+z^2)^2\) (đpcm)
S
5 tháng 11 2018
\(x+y+z=0\Rightarrow x=-\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow x^2=\left(y+z\right)^2=y^2+z^2+2yz\)
\(\Rightarrow x^2-y^2-z^2=2xy\)
\(\Rightarrow\left(x^2-y^2-z^2\right)^2=\left(2xy\right)^2=4x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2x^2z^2+2y^2z^2=4x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+x^4=4y^2z^2-2y^2z^2+2x^2z^2+2x^2y^2=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)
15 tháng 6 2015
có công cụ để ghi mà. bạn dùng cái đó nó dễ nhìn hơn. chứ thế này thì khó giải lắm
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{a}\)
Viết lại BĐT, ta được:
\(3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)-\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\le4\)
\(\Leftrightarrow4-3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4-3a-\dfrac{3}{a}+a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+2+\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{a}+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{a}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\dfrac{1-a}{a}.\dfrac{1-2a}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left[a-2+\dfrac{2a-1}{a^2}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-2a^2+2a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-a^2+a-a^2+a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left[a^2\left(a-1\right)-a\left(a-1\right)+a-1\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\ge0\) ( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra khi: \(a=1\Leftrightarrow x=y\)