HB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 9 2019
\(u_n^2+2011=2u_n.u_{n+1}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n^2+2011}{2u_n}\)
Ta có \(u_1>0\), giả sử \(u_k>0\Rightarrow u_{k+1}=\frac{u_k^2+2011}{2u_k}>0\)
\(\Rightarrow\) Dãy đã cho là dãy dương
Mặt khác \(u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2011}{u_n}\right)\ge\frac{1}{2}.2\sqrt{2011}=\sqrt{2011}\)
\(\Rightarrow u_n\ge2011\) \(\forall n\ge1\Rightarrow\) dãy đã cho bị chặn dưới
Xét \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{u_n^2+2011}{2u^2_n}=\frac{1}{2}+\frac{2011}{2u_n^2}\le\frac{1}{2}+\frac{2011}{2.2011}=1\) (do \(u_n\ge\sqrt{2011}\))
\(\Rightarrow u_{n+1}\le u_n\) \(\Rightarrow\) dãy đã cho là dãy giảm
Dãy giảm, bị chặn dưới \(\Rightarrow\) dãy có giới hạn
Gọi giới hạn của dãy là \(a\Rightarrow\sqrt{2011}\le a\le u_1\)
\(\Rightarrow a^2-2a^2+2011=0\)
\(\Rightarrow a^2=2011\Rightarrow a=\sqrt{2011}\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=\sqrt{2011}\)
TN
0
MH
9 tháng 4 2017
a) Ta có:
u1 = 2, u2 = 2u1 – 1 = 3, u3 = 2u2 – 1= 5
u4 = 2u3 -1 = 9, u5 = 2u4 – 1= 10
b) Với n = 1, ta có: u1 = 21-1 + 1 = 2 : đúng
Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: uk = 2k-1 + 1
Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,
Nghĩa là chứng minh:
Uk+1 = 2(k+1)-1 + 1 = 2k + 1
Ta có: uk+ 1 = 2uk – 1 = 2(2k -1+ 1) -1 = 2.2k -1 + 2 – 1 = 2k + 1 (đpcm)
Vậy un = 2n-1 + 1 với mọi n ∈ N*
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2020
\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)
\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)
\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)
Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)
Ta cần chứng minh:
\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)
\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)
18 tháng 5 2017
Ta có \(A=\sum\limits^n_{k=1}k^2=\sum\limits^n_{k=1}C^1_k+2\sum\limits^n_{k=1}C^2_k\)
Kết hợp với bài 2.15 ta được :
\(A=C_{n+1}^2+2C^3_{n+1}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
Bạn đã học công thức nghiệm dạng sai phân chưa nhỉ? Nếu rồi thì cứ áp dụng là xong, còn chưa thì làm từ từ vậy:
\(u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(u_{n+2}+1\right)-5\left(u_{n+1}+1\right)+6\left(u_n+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(u_{n+2}+1\right)-2\left(u_{n+1}+1\right)=3\left[\left(u_{n+1}+1\right)-2\left(u_n+1\right)\right]\)
Đặt \(u_{n+1}+1-2\left(u_n+1\right)=v_n\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_{n+1}=3v_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội 3 \(\Rightarrow v_n=3^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}+1-2\left(u_n+1\right)=3^{n-1}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}+1-\frac{1}{3}3^{n+1}=2\left(u_n+1-\frac{1}{3}3^n\right)\)
Đặt \(u_n+1-\frac{1}{3}3^n=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_{n+1}=2x_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n=2^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n+1-\frac{1}{3}.3^n=2^{n-1}\Rightarrow u_n=3^{n-1}+2^{n-1}-1\)