Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi giao điểm khác D của hai đường tròn (BED);(CFD) là K'; K'I cắt EF tại L; DL cắt (I;ID) tại M khác D.
Ta thấy IE = IF; AI là phân giác ngoài của ^EAF, từ đây dễ suy ra 4 điểm A,E,I,F cùng thuộc một đường tròn
Vì 3 điểm D,F,E lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB của \(\Delta\)ABC nên (BED);(CFD);(AFE) đồng quy (ĐL Miquel)
Hay điểm K' thuộc đường tròn (AIFE). Do vậy LI.LK' = LE.LF = LD.LM (= PL/(G) = PL/(I) )
Suy ra 4 điểm K',M,I,D cùng thuộc một đường tròn. Mà ID = IM nên ^IK'D = ^IK'M.
Đồng thời ^DIM = 1800 - ^DK'M = 1800 - ^EK'F + 2.^FK'D = ^BAC + 2.^ACB = 2.^AID
Suy ra IA vuông góc DM, từ đó M,L,D,A thẳng hàng (Vì IA cũng vuông góc AD)
Khi đó dễ thấy AL là phân giác ^BAC, K'L là phân giác ^EK'F, mà tứ giác AEK'F nội tiếp
Suy ra AEK'F là tứ giác điều hòa, từ đây AK' là đường đối trung của \(\Delta\)AEF
Suy ra K' trùng K. Kẻ tiếp tuyến Kx của (G), ta có ^BKx = ^EKx - ^EKB = ^EFK - ^EFD = ^BCK
Do đó (BKC) tiếp xúc với (G) tại K, tức KG đi qua tâm của (BKC) (1)
Gọi S là trung điểm cung lớn BC của (ABC). Có SB = SC và ^BKC = ^AED + ^AFD = 1800 - ^BSC/2
Suy ra S là tâm của đường tròn (BKC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra KG luôn đi qua S cố định (Vì S là trung điểm cùng BC lớn cố định) (đpcm).
a) Xét tứ giác HMBI có:
∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AN}=\widebat{CN}\))
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI
=> Tứ giác BMHI nội tiếp
b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:
∠KMC là góc chung
∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{BM}\))
=> ΔMNI ∼ ΔMCK => \(\frac{MN}{MC}=\frac{MI}{MK}\) => MN.MK = MC.MI
c) Xét tứ giác NKIC có:
∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau \(\widebat{AM}=\widebat{MB}\))
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI
=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp
=> ∠NKI + ∠NCI = 180o (1)
Xét đường tròn (O) có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{ANK}=\widehat{ACM}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM}\right)\\\widehat{NAK}=\widehat{NCA}\left(\text{2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung BẰNG NHAU}\widebat{AN}=\widebat{CN}\right)\end{cases}}\)
=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)
Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180o (3)
Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA
Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:
∠NKI = ∠NKA
KN là cạnh chung
∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
=> ΔIKN = ΔAKN
=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K
Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp
Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))
∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))
=> Tứ giác AHIK là hình bình hành
Mà IK = AK
=> Tứ giác AHIK là hình thoi.
CÒN LẠI TỰ LÀM LÀM NHA