TN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
21 tháng 3 2018
Để ý, ta thấy: \(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\le0\)
do đó từ giả thiết, ta suy ra \(ab+bc+ca\le3\). Như vậy:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^3+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM . Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Thiết lập hai BĐT tương tự và cộng lại, ta suy ra dãy đánh giá sau:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Từ đó với lưu ý: a + b + c = 3 . Ta suy ra ĐPCM
VT
30 tháng 9 2019
Vì a,b,c là số thực dương nên \(\sqrt{a^2}=a;\sqrt{b^2}=b;\sqrt{c^2}\)=c. Vậy ta có
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\)=\(\frac{a}{a+1}-1+\frac{b}{b+1}-1\)+\(\frac{c}{c+1}-1+3\)
=3-( \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\)) =A
ta có bdt \(9\le\left(a+1+b+1+c+1\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)(dễ dàng chứng mình bằng bdt cosi).
=>\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\)\(\frac{9}{3+\sqrt{3}}\)=> A\(\le3-\frac{9}{3+\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}+1}\)
dấu = khi a=b=c=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
DT
18 tháng 5 2019
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{3^2}{3}=3\)
Khi đó \(c^2+3\ge c^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{c^2+3}\ge\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}\)
\(a^2+3\ge a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{a^2+c}\ge\sqrt{\left(a+b\right)}\sqrt{a+c}\)
\(b^2+3\ge b^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{b^2+3}\ge\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}}+\frac{bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}+\frac{ca}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}\)*
áp dụng bđt Cauchy ngược dấu
\(\sqrt{\frac{1}{a+b}}.\sqrt{\frac{1}{a+c}}\le\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}}{2}\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{2ab}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\)
\(\frac{2ca}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\)
Kết hợp với * ta có
\(\frac{2ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{2bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{2ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\right)=\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}.\)
DT
18 tháng 5 2019
nhầm xíu dòng thứ 2 từ dưới lên
\(2\left(...\right)\ge\frac{ab}{..}...\)=...
T
7 tháng 9 2019
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)
20 tháng 4 2020
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
\(\sqrt{\frac{a}{a+bc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+abc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{b+ca}}=\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}};\sqrt{\frac{c}{c+ab}}=\frac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(\Rightarrow VT=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{a}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)+\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=3\)
X
20 tháng 1 2019
Theo đề ra ta có :
\(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\right]\le0\)
và : \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Thiết lập 2 đẳng thức tương tự, cộng về theo về, ta có :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)
và : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Mà : \(a+b+c=3\)( theo đề bài ) , suy ra đpcm
20 tháng 1 2019
ở dòng thứ 3 qua dòng thứ 4 bạn sai nhé. đáng lẽ là \(\ge\)