Chia cả tử và mẫu của các phân số cho a khác 0 ta được:

\(A=\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}-1}+\frac{\frac{a}{b}-1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{\left(\frac{a}{b}+1\right)^2+\left(\frac{a}{b}-1\right)^2}{\left(\frac{a}{b}-1\right)\left(\frac{a}{b}+1\right)}=\frac{2.\left(\frac{a}{b}\right)^2+2}{\left(\frac{a}{b}\right)^2-1}\)

\(\Rightarrow A.\left(\frac{a}{b}\right)^2-A=2.\left(\frac{a}{b}\right)^2+2\Rightarrow A.\left(\frac{a}{b}\right)^2-2.\left(\frac{a}{b}\right)^2=A+2\)

\(\Rightarrow\left(A-2\right).\left(\frac{a}{b}\right)^2=A+2\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{A+2}{A-2}\)

ta có: \(B=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^4+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^4-1}+\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^4-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^4+1}\)

\(\Rightarrow B=\frac{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2+1}{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2-1}+\frac{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2-1}{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2+1}=\frac{\left(A+2\right)^2+\left(A-2\right)^2}{\left(A+2\right)^2-\left(A-2\right)^2}+\frac{\left(A+2\right)^2-\left(A-2\right)^2}{\left(A+2\right)^2+\left(A-2\right)^2}\)

\(\Rightarrow B=\frac{2.A^2+8}{8.A}+\frac{8.A}{2.A^2+8}=\frac{\left(2A^2+8\right)^2+64.A^2}{8.A\left(2A^2+8\right)}=\frac{\left(A^2+4\right)^2+16.A^2}{4.A\left(A^2+4\right)}\)

Chia cả tử và mẫu của các phân số cho a khác 0 ta được:

$A=\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}-1}+\frac{\frac{a}{b}-1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{\left(\frac{a}{b}+1\right)^2+\left(\frac{a}{b}-1\right)^2}{\left(\frac{a}{b}-1\right)\left(\frac{a}{b}+1\right)}=\frac{2.\left(\frac{a}{b}\right)^2+2}{\left(\frac{a}{b}\right)^2-1}$A=a+ba−b +a−ba+b =ab +1ab −1 +ab −1ab +1 =(ab +1)2+(ab −1)2(ab −1)(ab +1) =2.(ab )2+2(ab )2−1 

$\Rightarrow A.\left(\frac{a}{b}\right)^2-A=2.\left(\frac{a}{b}\right)^2+2\Rightarrow A.\left(\frac{a}{b}\right)^2-2.\left(\frac{a}{b}\right)^2=A+2$⇒A.(ab )2−A=2.(ab )2+2⇒A.(ab )2−2.(ab )2=A+2

$\Rightarrow\left(A-2\right).\left(\frac{a}{b}\right)^2=A+2\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{A+2}{A-2}$⇒(A−2).(ab )2=A+2⇒(ab )2=A+2A−2 

ta có: $B=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^4+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^4-1}+\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^4-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^4+1}$B=(ab )4+1(ab )4−1 +(ab )4−1(ab )4+1 

$\Rightarrow B=\frac{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2+1}{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2-1}+\frac{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2-1}{\left(\frac{A+2}{A-2}\right)^2+1}=\frac{\left(A+2\right)^2+\left(A-2\right)^2}{\left(A+2\right)^2-\left(A-2\right)^2}+\frac{\left(A+2\right)^2-\left(A-2\right)^2}{\left(A+2\right)^2+\left(A-2\right)^2}$⇒B=(A+2A−2 )2+1(A+2A−2 )2−1 +(A+2A−2 )2−1(A+2A−2 )2+1 =(A+2)2+(A−2)2(A+2)2−(A−2)2 +(A+2)2−(A−2)2(A+2)2+(A−2)2 

$\Rightarrow B=\frac{2.A^2+8}{8.A}+\frac{8.A}{2.A^2+8}=\frac{\left(2A^2+8\right)^2+64.A^2}{8.A\left(2A^2+8\right)}=\frac{\left(A^2+4\right)^2+16.A^2}{4.A\left(A^2+4\right)}$⇒B=2.A2+88.A +8.A2.A2+8 =(2A2+8)2+64.A28.A(2A2+8) =(A2+4)2+16.A24.A(A2+4) 

a² + b² + c² \(\ge\frac{1}{3}\)\(\Rightarrow3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\)\(\Rightarrow3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow3.a^2+3.b^2+3.c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow2.a^2+2.b^2+2.c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

luôn đúng

=> đẳng thức đầu đúng => đpcm

4x + y = 1 => y = 1 - 4x => 4x² + y² = 4x² + (1-4x)² = 4x² + 1 - 8x + 16x² = 20x² - 8x + 1 = 20.(x² - 4/5. x ) + 1 

= \(20.\left(x^2-2.x.\frac{2}{5}+\frac{4}{25}\right)-20.\frac{4}{25}+1=20.\left(x-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{9}{25}\ge0+\frac{9}{25}=\frac{9}{25}\)

=> min  4x² + y² = 9/25 khi x = 2/5

ban nêu rõ ràng viết dấu đi

tong so vien bi cua 4  nguoi

16 x 4 = 64 vien

vay truoc khi duoc Tri ba ban con lai co so vien la

16 : 2 = 8 vien

so vien bi cua Tri co khi Phuoc cho  ba bn kia 

40 : 2 = 20 vien

so bi cua Hanh va Bao truoc khi duoc Tri cho

8 : 2 = 4 vien

so bi cua Phuoc truoc khi Phuoc chia bi

64 - 4 x2 - 20 = 36 vien

so vien bi cua Phuoc truoc khi Bao chia cho cac ban

36 : 2 = 18 vien

so bi cua Tri truoc khi Bao cho

20 : 2  = 10 vien

so bi cua Hanh truoc khi Bao cho 

4 : 2 = 2 vien

so bi cua Bao truoc khi bao chia cho cac ban

64 - 2- 10 - 18 =34 vien

so bi cua Phuoc truoc khi Hanh cho

18 : 2 = 9 vien

so bi cua Tri truoc khi Hanh cho

10 : 2 = 5 vien

so bi cua  Bao truoc khi Hanh cho

34 : 2 = 17 vien

so bi cua Hanh truoc khi Hanh cho cac ban 

64 - 5 - 9 - 17 =33 vien

dap so Hanh 33 vien

          Tri 5 vien

          Bao 17 vien

          Phuoc 9 vien  

Ko biet co dung khong

(6x+7)².2.(3x+4).6.(x+1) = 72

=> (6x+7)². (6x+8).(6x+6)= 72

=>  (6x+7)². (6x+7 + 1)(6x+7 - 1) = 72

=> (6x+7)². [(6x+7)² - 1] = 72

=> (6x+7)⁴  - (6x+7)² = 72 => (6x+7)⁴ -9.(6x+7)² + 8.(6x+7)² - 72 = 0

=> (6x+7)². [(6x+7)² - 9] + 8.[(6x+7)² - 9] = 0

=> [(6x+7)² + 8].[(6x+7)² - 9] = 0

=> (6x+7)² - 9 = 0 Vì (6x+7)² + 8 > o với mọi x

=> (6x+7)² = 9 => 6x + 7 = 3 hoặc -3 

6x+ 7 =3 => x = -2/3

6x+7 = -3 => x = -5/3

Vậy  x = -2/3; -5/3

(6x +7)²(3x +4)(x +1) =6 <=> (6x +7)²(6x +8)(x +1) = 12

Đặt 6x +7 =t => 6x + 8 = t +1 ; x =(t - 7)/6 ; x +1 = (t -1)/6

Pt trở thành : \(t^2\left(t+1\right)\frac{t-1}{6}=12\Leftrightarrow t^4-t^2-72=0\Leftrightarrow\left(t^2-9\right)\left(t^2+8\right)=0\)

<=> \(t^2-9=0\)( vì t² +8 >0) <=> t = 3 hay t = -3

t =3 => 6x +7 = 3 => x = -2/3

t= -3 => 6x +7 = -3 => x = -5/3

1) \(VT=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{z}\)

\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)

Với 2 số a; b dương dễ dàng chứng minh đc: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (có thể chứng minh tương đương)

=>  VT \(\ge3+2+2+2=9=VP\)=> ĐPCM

dâu = xảy ra khi x = y = z

2) Xét \(M+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)

\(M+3=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(M+3=\frac{1}{2}.\left(2a+2b+2c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(M+3=\frac{1}{2}.\left(\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{1}{2}.9=\frac{9}{2}\)(Áp dụng câu 1)

=> M \(\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

min M = 3/2 khi a= b = c

A = x(x-1)(x-7)(x-8) = [x.(x- 8)].[(x - 1)(x - 7)] = (x² - 8x).(x² - 8x + 7) = (x² - 8x)² + 7(x² - 8x)

Đặt a = x² - 8x => A = a² + 7a

để A là số chính phương thì A = b² (b nguyên)

=> a² + 7a = b² => 4a² + 28a + 49 - 49 - 4b² = 0 => (2a+ 7)² - (2b)² = 49

=> (2a + 7 - 2b).(2a + 7 + 2b) = 49

Vì a, b nguyên nên 2a+ 7 - 2b ; 2a + 7 + 2b thuộc Ư(49) = {49; -49; 1;-1; 7; -7}

trường hợp: 2a + 7 - 2b = 49 và 2a + 7 + 2b = 1 . Cộng vế với vế => 4a + 14 = 50 => a = 9 => b = -12 (nhận)

=> x² - 8x = 9 =>  x² - 8x - 9 = 0 => x = -1; 9

tương tự với các trường hợp còn lại....................................

Trừ cả 2 vế cho 7 ta được:

\(\frac{x^2+2006x-1}{2006}-1+\frac{x^2+2006x-2}{2005}-1+...+\frac{x^2+2006x-7}{2000}-1\)

\(=\frac{x^2+2006x-8}{1999}-1+...+\frac{x^2+2006x-14}{1993}-1\)

=>  \(\frac{x^2+2006x-2007}{2006}+\frac{x^2+2006x-2007}{2005}+...+\frac{x^2+2006x-2007}{2000}=\frac{x^2+2006x-2007}{1999}+...+\frac{x^2+2006x-2007}{1993}\)

=> \(\left(x^2+2006x-2007\right)\left(\frac{1}{2006}+\frac{1}{2005}+...+\frac{1}{2000}-\frac{1}{1999}-...-\frac{1}{1993}\right)=0\)

=> x² + 2006x -2007 = 0.  Vì \(\frac{1}{2006}+\frac{1}{2005}+...+\frac{1}{2000}

mình sửa lại chút sai xót bài giải trên: nhận xét 1/2006+...+ 1/2000-1/1999-...- 1/993 < 0 nhé!  sửa dấu + thành dấu -