\(x^3+12x^2+48x+64=x^3+3.x^2.4+3.x.4^2+4^3=\left(x+4\right)^3\)

\(4x^3+32x^2+64x=4x\left(x^2+8x+16\right)=4x\left(x+4\right)^2\)

\(\frac{4x}{\left(x+4\right)^3}=\frac{16x^2}{4x\left(x+4\right)^3},\frac{x-4}{4x\left(x+4\right)^2}=\frac{x^2-16}{4x\left(x+4\right)^3}\)

đề bài là j?

ờ đúng đấy. , không có đề bài

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)\left(x+4\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2-1^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2-3^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+2\right)\left(x^2+5x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+5x+2=0\\x^2+5x+8=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\).

\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{xy}{ab}=\frac{yz}{bc}=\frac{xz}{ac}=\frac{xy+yz+xz}{ab+bc+ac}.\)(1)

Ta có

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow1=1+2\left(ab+bc+ac\right)\Rightarrow ab+bc+ac=0\) => (1) vô nghĩa bạn xem lại đề bài

ta có 

a. \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) luôn đúng

mà ta lại có : 

\(\hept{\begin{cases}a^2< a\left(b+c\right)\\b^2< b\left(a+c\right)\\c^2< c\left(a+b\right)\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le2\left(ab+bc+ac\right)}\) vậy ta có điều phải chứng minh.

b. ta có  :

\(\hept{\begin{cases}\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le\left(\frac{a+b-c+a+c-b}{2}\right)^2=a^2\\\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\\\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\le c^2\end{cases}}\)

nhân lại ta sẽ có : \(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\le abc\) vậy ta có dpcm

ta có y nguyên không âm nên ta có : 

\(x+\sqrt{y}=y^2\Leftrightarrow x=y^2-\sqrt{y}\)

vì vậy với mọi số y là số chính phương thì x luôn là số nguyên

vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên có dạng : 

\(\hept{\begin{cases}y\text{ chính phương }\\x=y^2-\sqrt{y}\end{cases}}\)

luôn tồn tại 1 trong 3 số bằng 1

thật vậy, giả sử không có số nào bằng 1

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}\le\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}\le\frac{1}{2}\\\frac{1}{z}\le\frac{1}{2}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{2}< 2\) mâu thuẫn với giả thiết

vậy phải có 1 số bằng 1

không mất tổng quát ta giả sử z = 1

nen ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\Leftrightarrow x=\frac{y}{y-1}=1+\frac{1}{y-1}\)

do x nguyên nên y-1 =1 hay y =2 \(\Rightarrow x=2\)

vậy phương trình có nghiệm là ( 2,2,1) và các cặp giao hoán của nó ( là ( 1,2,2) và (2,1,2) ) 

ta có : 

\(P=\frac{n^3-n^2+2n+7}{n^2+1}=n-1+\frac{n+8}{n^2+1}\) nguyên khi \(\frac{n+8}{n^2+1}\) nguyên.

đặt \(\frac{n+8}{n^2+1}=k\in Z\Rightarrow n^2.k-n+k-8=0\) 

ta có \(\Delta=1-4k\left(k-8\right)=-4k^2+32k-1\ge0\Leftrightarrow k\in\left\{1,..,7\right\}\)

mà n nguyên nên ta có : \(k-8\text{ chia hết cho k\Rightarrow}k\in\left\{1,2,4,8\right\}\)

với k =1 ta tìm được n không nguyên.

với k =2 ta tìm được n =2 thỏa mãn

với k =4 ta tìm  được n không nguyên.

vậy n=2 là nghiệm duy nhất