Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ, khi đó \(\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}\) với \(m,n\inℕ^∗\) và \(\left(m,n\right)=1\)

\(\Rightarrow2=\dfrac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2\Rightarrow m^2⋮2\Rightarrow m⋮2\Rightarrow m=2k\left(k\inℕ\right)\) 

\(\Rightarrow\left(2k\right)^2=2n^2\Rightarrow4k^2=2n^2\Rightarrow2k^2=n^2\Rightarrow n^2⋮2\Rightarrow n⋮2\). Như vậy ta có m, n đều chia hết cho 2, trái với \(\left(m,n\right)=1\), vậy điều giả sử là vô lí. Do đó, \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.

giả sử \(\sqrt{2}\) là một số hữu tỉ ⇔ \(\sqrt{2}\) = \(\dfrac{m}{n}\)với m,n ϵ N^*

⇔ 2 =  \(\dfrac{m^2}{n^2}\) ⇔ m²=2n² vì m,n ϵ N^* ⇔ m²,n² là các số chính phương 

⇔ 2 là một số chính phương vô lý vì một số chính phương không thể có tận cùng là 2. vậy điều giả sử là sai ⇔ \(\sqrt{2}\) là một số vô tỉ (đpcm)

tính nhanh  (1-1/17)*(1-2/17)*(1-3/17)*...*(1-10/17)

Bài 9: 

Để \(A\) giao \(B\) là tập số thực thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}1-m\le-3\\\dfrac{m+3}{2}\ge3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge4\\m\ge3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ge4\).

Ta có: A ⊂ B , nên A ∪ X = B khi X là tập hợp con của B chứa ít nhất 3 phần tử 1, 3 và 4 . Vậy ta có 4 tập hợp X là: {1 ; 3 ; 4}, {0 ; 1 ; 3 ; 4}, {2 ; 1 ; 3 ; 4}, {0 ; 2 ; 1 ; 3 ; 4} .

Giả sử tồn tại số tự nhiên \(n\) để \(P=n^2+15n+48⋮121\). Khi đó do \(121=11^2\) nên \(P⋮11\)

Mà \(P=n^2+15n+48=n^2+2n+13n+26+22\) \(=n\left(n+2\right)+13\left(n+2\right)+22\) \(=\left(n+2\right)\left(n+13\right)+22\)

Ta có \(P⋮11\) (g/s) và \(22⋮11\), từ đó \(\left(n+2\right)\left(n+13\right)⋮11\). Hơn nữa 11 là số nguyên tố nên trong 2 số \(n+2\) và \(n+13\) sẽ luôn có một số chia hết cho 11. 

Nếu \(n+2⋮11\) thì hiển nhiên \(n+13=n+2+11⋮11\), do đó \(\left(n+2\right)\left(n+13\right)⋮11.11=121\), mà \(P=\left(n+2\right)\left(n+13\right)+22⋮121\) nên \(22⋮121\), đây rõ ràng là một điều vô lý. Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) với mọi số tự nhiên \(n\) thì \(n^2+15n+48⋮̸121\)

À đoạn cuối mình bổ sung thêm là nếu \(n+13⋮11\) thì \(n+2=n+13-11⋮11\) nên \(\left(n+2\right)\left(n+13\right)⋮121\) và cũng dẫn đến điều vô lí nữa nhé.