Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và EF = AB/2 = R. H là giao điểm của AF và BE, C là giao điểm của AE và BF, I là giao điểm của CH và AB. a) Tính số đo góc CIF. b) Chứng minh AE.AC + BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.



ĐK: x > 0
\(pt\Leftrightarrow\frac{2x\left(1+\sqrt{x}\right)+2.2x\left(1+x\right)}{2x\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+x\right)}=\frac{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(1+x\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}{2x\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow2x+2x\sqrt{x}+4x+4x^2=\left(2+2x+\sqrt{x}+x\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+2x\sqrt{x}+6x=x^2+5x\sqrt{x}+3x+\sqrt{x}+2\)
\(\Leftrightarrow3x^2-3x\sqrt{x}+3x-\sqrt{x}-2=0\)
\(\Leftrightarrow3x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3x\sqrt{x}+3\sqrt{x}+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\3x\sqrt{x}+3\sqrt{x}+2=0\end{cases}}\)
TH1: x = 1 (tm)
TH2: Ta thấy rằng \(\sqrt{x}>0\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x\sqrt{x}>0\\3\sqrt{x}>0\end{cases}}\Rightarrow3x\sqrt{x}+3\sqrt{x}+2>2\ne0\)
Kết luận : Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
\(ĐK:x>0\) đặt \(\sqrt{x}=y\) => y>0
\(\frac{\Leftrightarrow1}{y^2+1}+\frac{2}{y+1}=\frac{2+y}{2y^2}\) do y khác 0=> chia cả hai vế choy^2 đặt 1/y=z

\(\hept{\begin{cases}\frac{25x^2-y^2}{20x-4y-3\left(5x+y\right)}=3\\\frac{25x^2-y^2}{2\left(5x-y\right)+10x+2y}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\left(5x-y\right)\left(5x+y\right)}{4\left(5x-y\right)-3\left(5x+y\right)}=3\\\frac{\left(5x-y\right)\left(5x+y\right)}{2\left(5x-y\right)+2\left(5x+y\right)}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{4\left(5x-y\right)-3\left(5x+y\right)}{\left(5x-y\right)\left(5x+y\right)}=\frac{1}{3}\\\frac{2\left(5x-y\right)+2\left(5x+y\right)}{\left(5x-y\right)\left(5x+y\right)}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{4}{5x+y}-\frac{3}{5x-y}=\frac{1}{3}\\\frac{2}{5x+y}+\frac{2}{5x-y}=1\end{cases}}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{5x+y}=a\\\frac{1}{5x-y}=b\end{cases}}\)thì hệ thành
\(\hept{\begin{cases}4a-3b=\frac{1}{3}\\2a+2b=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{11}{42}\\b=\frac{5}{21}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{5x+y}=\frac{11}{42}\\\frac{1}{5x-y}=\frac{5}{21}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{441}{550}\\y=-\frac{21}{110}\end{cases}}\)
PS: Bí thì bỏ chứ đăng lên làm gì :3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{cases}}\). Cộng theo vế ta có:
\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1\le\frac{x+y+y+z+x+z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)
Do đó ta có: \(x+y+z\ge1\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta cũng có:
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+y+z+x+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
hình( tự vẽ)
a) Chú ý: \(\widehat{AEB}=\widehat{AFB}=90\)(góc chắn nửa đường tròn) => H là trực tâm tam giác ABC
=> tứ giác AIFC nội tiếp (do \(\widehat{AIC}=\widehat{AFC}=90\)) => góc CIF= góc CAF
mà góc CAF=\(\frac{1}{2}\)góc EOF
mà EF=R => tam giác OEF đều => EOF =60 => CIF=30
b)
tam giác vuông AIC đồng dạng với tam giác vuông AEB (g-g)
=> AE.AC=AI.AB
Tương tự tam giác BIC đồng dạng BFA
=> BF.BC=BI.AB
Vậy: AE.AC+BF.BC=AB(AI+IB)=AB\(^2\)=4R\(^2\)=const (ĐPCM)
Sorry , mk ms học lớp 6 ...
Have a nice day !!!