Trước hết xoá \(\frac{2x}{a^2-a+1}\)ở 2 vế. Nếu \(\frac{a}{a+1}>0\left(a< -1;a>0\right)\)thì \(x< \frac{a}{4}\). Nếu \(\frac{a}{a+1}< 0\left(-1< a< 0\right)\)thì \(x>\frac{a}{4}\)

\(ĐKXĐ:a\ne-1\)

\(\frac{2x}{a^2-a+1}-\frac{1}{2a+2}< \frac{4x-1}{2a^2-2a+2}+\frac{a-2ax}{1+a^3}\Leftrightarrow\frac{2x}{a^2-a+1}-\frac{1}{2a+2}< \frac{2x}{a^2-a+1}-\frac{1}{2a^2-2a+2}+\frac{a}{1+a^3}-\frac{2ax}{1+a^3}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{2a+2}-\frac{1}{2a^2-2a+2}+\frac{a}{1+a^3}>\frac{2ax}{1+a^3}\Leftrightarrow\frac{a^2-a+1-a-1+2a}{2\left(a^3+1\right)}>\frac{2ax}{1+a^3}\Leftrightarrow\frac{a^2}{2\left(1+a^3\right)}>\frac{4ax}{2\left(1+a^3\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{4ax}{a+1}< \frac{a^2}{a+1}\)

* Nếu \(\frac{a}{a+1}>0\)(tức là a < -1 hoặc a > 0) thì \(x< \frac{a}{4}\)

* Nếu \(\frac{a}{a+1}< 0\)(tức là -1 < a < 0) thì \(x>\frac{a}{4}\)

Ta có :

2x⁴ + 1 - 2x³ - x² 

= 2x³ ( x - 1 ) - ( x - 1 ) ( x + 1 )

= ( x - 1 ) ( 2x³ - x - 1 )

= ( x - 1 ) [ ( x³ - x ) + ( x³ - 1 ) ]

= ( x - 1 ) [ x ( x - 1 ) ( x + 1 ) + ( x - 1 ) ( x² + x + 1 ) ]

= ( x - 1 )² ( x² + x + x² + x + 1 )

= ( x - 1 )² ( 2x² + 2x + 1 )

= ( x - 1 )² ( x²  + ( x + 1 )² ) \(\ge\)0

Suy ra đpcm

ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\left(1\right)\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Rightarrow b^2+1\ge2b\left(2\right)\)

Lấy (1)+(2) ta có :  \(a^2+1+b^2+1\ge2a+2b\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\forall a,b\)

Theo BĐT AM - GM :

\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2\left|a\right|=2a\)

\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|\ge2b\)

Khi đó ta có đpcm

Không có đâu bạn ạ

Đề năm nào cũng được đúng không? Nếu đúng thì mình tra trên mạng có một số đề như sau:

https://www.slideshare.net/CharliePhan93x/thi-hsg-ton-8-c-p-n (hình như có cả đáp án hay sao ý)

https://vndoc.com/7-bo-de-thi-hoc-sinh-gioi-tinh-toan-lop-8/download

Câu này quá khó .Thần đồng chắc mới giải được.

Theo bđt cô si ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\end{cases}}\)

=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\cdot\sqrt{ab}\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\sqrt{\frac{ab}{ab}}=4\)

=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( Đpcm)

Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng ) ( do a ; b là các số nguyên dương )

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu " = " xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a;b>0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b>0\)

Vậy ....

Toán lớp 7 

cái này dễ để em làm cho:

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

ta có\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{\left(a+b\right)-b}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)-c}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)-a}{c+a}\)

\(=1-\frac{b}{a+b}+1-\frac{c}{b+c}+1-\frac{a}{c+a}\)

\(=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)

đặt E=\(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)

\(>\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\)(1)

\(\Rightarrow E>1\)

\(\Rightarrow3-E< 2\)

CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ \(\frac{A}{A+B}+\frac{B}{B+C}+\frac{C}{C+A}< 1NHƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)