+) Chứng minh: \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Áp dụng B ĐT Bu nhia có: (a+ b)² \(\le\) 2(a² + b²) => \(a+b\le\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}\)

Tương tự ta có: \(b+c\le\sqrt{2}.\sqrt{b^2+c^2};c+a\le\sqrt{2}.\sqrt{c^2+a^2}\)

Cộng từng vế của B ĐT trên => \(2.\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}.\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

=> \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

+) Chứng minh \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\) 

Vì a; b; c là 3 cạnh của tam giác nên ta có: (a - b)² < c²; (b - c)² < a^{2 ;}  (c -a) ² < b²

=> a² + b² < c² + 2ab; b² + c² < a² + 2bc ; c² + a² < b² + 2ac

=> \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\)

Mặt khác, Dễ dạng chứng minh được (x+ y + z)² \(\le\) 3.(x²+y²+z²)( Bằng cách biến đổi tuơng đương)

=> \(\left(\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\right)^2\le3\left(c^2+2ab+a^2+2bc+b^2+2ca\right)=3\left(a+b+c\right)^2\)

=> \(\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

=> \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

Theo chứng minh này, dấu "=" không thể xảy ra ở Bất đẳng thức thứ 2

Vậy....

2X+5X=25

=> (2+5)X=35

=> 7X=35

=> X=35:7

=> X=5

x . ( 2+5 ) = 35

x . 7 = 35

x = 35 : 7

x = 5

1 + x² = xy + yz + zx + x² = y(x+z) + x(z+x) = (x+y).(x+z)

Tương tự, 1 + y² = (y + x). (y +z) và 1 + z² = (z +x).(z+y)

=> \(x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\left|y+z\right|\)

Tương tự => A = x |y +z| + y.|x+ z| + z.|x+y| 

Có thể đề là rút gọn A. Yêu cầu tính A, không đủ dữ kiện ( Vid dụ : Nếu y + z > 0 và x + z< 0; x+ y < 0 => A = -2yz)

Nếu Thêm điều kiện x; y; z > 0 => A = x(y+z) + y(x+z) + z(x+y) = 2(xy + yz+ zx) = 2

\(\text{Ta có: }1+x^2=xy+yz+xz+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(1+y^2=xy=yz=xz+y^2=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\)

\(1+z^2=xy+yz+xz=z^2=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

\(\text{Suy ra: }A=x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(+z\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

\(=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)

x- y = -2 => x = y - 2. Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

(2y - 2)² - 4(2y - 2) = 12 

<=> y² - 2y + 1 - 2y + 2 = 3

<=> y² - 4y = 0 <=> y(y - 4) = 0 <=> y = 0 hoặc y = 4

+) y = 0 => x = -2

+) y = 4 => x = 2

Vậy ..........

Đặt x + y = a thay vào pt (1) ta có :

a^2 - 4a = 12 

=> a^2 - 4a - 12 = 0 => a^2 - 6a + 2a - 12 = 0

=> a(a- 6 ) + 2 (a - 6) = 0 

=> ( a+ 2 )(a-6) = 0 

=> a = -2  hoặc a = 6 

(+) a= -2 => x + y = -2 và x - y = -2 

=> 2x = -4 => x = -2 ;

=> y = 0

(+) a= 6 => x + y = 6 và x - y = -2 

=> 2x = 4 => x= 2

=>y = 6 -x = 6 - 2 = 4  

Đề thiếu để có thể tính chính xác đọ dài A; B,..

Ví dụ: Vẽ đoạn AB ; góc BAC = 120^o. Có nhiều điểm C thỏa mãn

A B C C'

Từ định lí Pi- ta- go ta có:

\(AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AN=\sqrt{AD^2+DN^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(MN=\sqrt{MC^2+NC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(P_{AMN}=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt[]{2}=2\sqrt{5}+2\left(cm\right)\)

Điều kiện: x \(\ne\) 1;  1/4 ; x \(\ge\) 0

\(A=1+\left(\frac{\left(2a+\sqrt{a}-1\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}-\frac{\left(2a+\sqrt{a}-1\right).\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\right)\)

\(A=1+\left(\frac{\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)-\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\left(1+\sqrt{a}\right).\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\right)\)

\(A=1+\left(\frac{\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1-a-\sqrt{a}\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\right)\)

\(A=1+\left(\frac{\left(2a+\sqrt{a}-1\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\right)\)

\(A=1+\left(\frac{\left(2\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}\right)\left(\frac{-\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)}{2\sqrt{a}-1}\right)=1+\frac{-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}=\frac{a+1}{a+\sqrt{a}+1}\)

Các bài tập dạng này hoàn toàn làm tương tự!!!

\(\Rightarrow B^2=5+\sqrt{13+B}\Rightarrow\left(B^2-5\right)^2=13+B\)

\(\Leftrightarrow B^4-10B^2-B+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(B-3\right)\left(B^3+3B^2-B-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow B=3\text{ hoặc }B^3+3B^2-B-4=0\text{ (1)}\)

Lấy máy tính thấy (1) có 2 nghiệm âm và một nghiệm B = 1,11....

Mà \(B>\sqrt{5}>2>0\) nên loại hết các nghiệm của (1) :))

Vậy B = 3.

\(\Rightarrow B^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\left(B>\sqrt{4}=2\right)\)

\(B^4=25+13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}+2.5.\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\)

\(B^4=38+B+10\left(B^2-5\right)\)

\(B^4=10B^2-50+B+38=10B^2+B-12\)

\(\Rightarrow B^4-10B^2-B+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(B-3\right)\left(B^3+3B^2-B-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(B-3\right)\left[B^2\left(B+3\right)-\left(B+3\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(B-3\right)\left[\left(B+3\right)\left(B-1\right)\left(B+1\right)-1\right]=0\left(1\right)\)

Vì B > 2 =>\(\left[\left(B+3\right)\left(B-1\right)\left(B+1\right)-1\right]>0\)

Do đó, (1) => B - 3 = 0 => B = 3 (TMĐK)

\(A^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}\)

\(A^2=2+A\)

\(A^2-A-2=0\Rightarrow A^2-2A+A-2=0\)

\(\left(A-2\right)\left(A+1\right)=0\)

=> A = 2 hoặc A = -1 ( loại A > 0 )

Vậy A = 2