Với 2 số x,y > 0 Theo Cauchy ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}^{\left(1\right)}\)

\(P=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)

\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\)

Áp dụng (1) ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\cdot\frac{4}{a+b+c}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b và (a+b)=c hay a=b=1,5 và c=3.

\(n\left(n+2\right)\left(25n^2-1\right)=n\left(n+2\right)24n^2+n\left(n+2\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=24n^3\left(n+2\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

thành phần 24n³(n+2) chia hết cho 24.

thành phần sau là tích của 4 số tn liên tiếp nên trong 4 số thì phải có 1 số chia hết cho 3, có 2 số chẵn trong đó 1 số chẵn chia hết cho 4 (vì trong 4 số tn liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 4) và một số chẵn còn lại chia hết cho 2 vậy tích 4 số chia hết cho 3x4x2=24.

=>(đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có 

\(1+\frac{1}{a_1}\ge\frac{2}{\sqrt{a_1}}\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{a_1}}\ge\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{a_1}}\)

cứ tương tự như vậy tới a_n rồi cô si tiếp n số đó(chú ý tích của n số đó =1)

x²+y²+4/x²=8

=>x⁴+x²y²+4-8x²=0

=>x⁴-8x²+16=12-x²y²

=>(x²-4)²=12-x²y²

=>x²y² ≤ 12 => |xy| ≤ \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

=>min xy \(\ge-2\sqrt{3}\)

xy min khi: x=2, y=\(-\sqrt{3}\)

2^x + 1 = y² 

=> y²-1 = 2^x => (y+1)(y-1)=2^x 

x, y \(\in\)N => (y+1)=2^m và y-1=2ⁿ (m>n & x=m+n)

=> (y+1) - (y-1) = 2^m-2ⁿ

=> 2 = 2ⁿ(2^(m-n)-1). 

2^(m-n)-1 là số lẻ lại là ước của 2 => 2^(m-n)-1 = 1.

=> 2ⁿ=2 =>n=1. => 2^(m-1) - 1 = 1 =>2^(m-1) =2 =>m=2.

Vậy x=m+n=3 và y=2ⁿ +1 = 3.