A = \(\sqrt{x-4+4\sqrt{x-4}+4}+\sqrt{x-4-4\sqrt{x-4}+4}\)

  = \(\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}\)

  = \(\sqrt{x-4}+2+l\sqrt{x-4}-2l\)

(+) với \(l\sqrt{x-4}-2l=\sqrt{x-4}-2\) khi \(x\ge8\)

=> A = \(\sqrt{x-4}+2+\sqrt{x-4}-2=2\sqrt{x-4}\)

(+) \(l\sqrt{x-4}-2l=2-\sqrt{x-4}\) khi \(4\le x\le8\)

=> A = \(\sqrt{x-4}+2+2-\sqrt{x-4}=4\)

1) Áp dụng bất đẳng thức Cô - si với 4 số \(\frac{5x}{3};\frac{5x}{3};\frac{5x}{3};\frac{1}{x^3}\) dương ta có:

 \(B=\frac{5x}{3}+\frac{5x}{3}+\frac{5x}{3}+\frac{1}{x^3}\ge4\sqrt[4]{\frac{5x}{3}.\frac{5x}{3}.\frac{5x}{3}.\frac{1}{x^3}}=4\sqrt[4]{\frac{125}{27}}\)

=> B nhỏ nhất bằng \(4\sqrt[4]{\frac{125}{27}}\) khi \(\frac{5x}{3}=\frac{1}{x^3}\) => x⁴ = 3/5 => x = \(\sqrt[4]{\frac{3}{5}}\)

2) ĐK : x > 4

\(A=\sqrt{\left(x-4\right)+2\sqrt{x-4}.2+4}+\sqrt{\left(x-4\right)-2\sqrt{x-4}.2+4}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}\)

\(A=\sqrt{x-4}+2+\left|\sqrt{x-4}-2\right|\)

+) Nếu \(\sqrt{x-4}\ge2\) => x - 4 > 4 => x > 8 thì \(A=\sqrt{x-4}+2+\sqrt{x-4}-2=2\sqrt{x-4}\)

+) Nếu \(\sqrt{x-4}<2\) => x < 8 thì \(A=\sqrt{x-4}+2-\sqrt{x-4}+2=4\)

Vậy với x > 8 thì \(A=2\sqrt{x-4}\)

4 < x < 8 thì A = 4

2²⁰ = (2¹⁰)² = 1024² = (...76)

Chú ý: Lũy thừa những số có tận cùng là 76 thì tận cùng là 76

+) Ta có: 2²⁰⁰⁰ = (2²⁰)¹⁰⁰ = (...76)¹⁰⁰ = (...76)

+) 2²⁰⁰¹ = 2.2²⁰⁰⁰ = 2.(...76) = (...52)

+) 2²⁰⁰² = 2².2²⁰⁰⁰ = 4.(...76) = (....04)

=> 2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² có hai chữ số tận cùng là hai chữ số tận cùng của (76 + 52 + 04) = 132

Vậy  2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² có tận cùng là 32

2²⁰⁰⁰+2²⁰⁰¹+2²⁰⁰²=2²⁰⁰⁰(1+2+2²)=2²⁰⁰⁰.5=2¹⁹⁹⁹.10

2¹⁹⁹⁹=2⁴.2⁴...2⁴.2³

=16.16...16.8

=...8

=>2¹⁹⁹⁹.10=...8.10=...80

Vậy 2 chữ số tận cùng của 2²⁰⁰⁰+2²⁰⁰¹+2²⁰⁰² là 80

xin li-ke chứ sao, tek mà cx li-ke, óc vật

FULL máy tính rồi        

VT = \(\text{ }\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=\sqrt{2.2}=2\)

Dấu bằng xảy ra khi 2x - 3 = 5- 2x => x  = 2 

VP = \(3x^2-12x+14=3\left(x^2-4x+4\right)+2=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

Dấu = xảy ra khi x = 2 

=> VT = VP = 2 khi x = 2 

C1: Bình phương 2 vế ta có: \(55-6\sqrt{6}=\left(a+b\sqrt{6}\right)^2\)

<=> \(55-6\sqrt{6}=a^2 +6b^2+2ab\sqrt{6}\)

=>  a² + 6b² = 55 và 2ab = - 6

=> a² + 6b² = 55   (1)   và ab = -3  => a = -3/b (2)

thế (2) vào (1) ta được : \(\left(-\frac{3}{b}\right)^2+6b^2=55\) => \(9+6b^4=55b^2\)

=> 6b⁴ - 55b² + 9 = 0 => 6b⁴ - 54b² - b² + 9 =0 <=> 6b².(b² - 9) - (b² - 9) = 0 <=> (6b² - 1).(b² - 9 ) = 0 

<=> b² = 1/6 (Loại; vì b nguyên )  hoặc b² = 9 

+) b² = 9 => a² = 1 => a = 1 hoặc - 1 ; b = 3 hoặc - 3

Do \(a+b\sqrt{6}\) > 0  và a; b trái dấu nên a =  -1; b = 3 => a+ b = 2

Vậy a +  b  = 2

C2: \(\sqrt{55-6\sqrt{6}}=\sqrt{\left(3\sqrt{6}\right)^2-2.3\sqrt{6}.1+1}=\sqrt{\left(3\sqrt{6}-1\right)^2}\)

= \(\left|3\sqrt{6}-1\right|=3\sqrt{6}-1\)

=> a = -1; b = 3 => a + b = 2

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và đường cao, ta có

 \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\to\frac{1}{AH^3}=\frac{1}{AB^2\cdot AH}+\frac{1}{AC^2\cdot AH}\)                                    \(\left(1\right)\)

Vì \(AH\)  là đường cao của tam giác nên \(AH<\)\(AB,AC.\)  Suy ra \(\frac{1}{AB^2\cdot AH}+\frac{1}{AC^2\cdot AH}>\frac{1}{AB^3}+\frac{1}{AC^3}.\)                \(\left(2\right)\).

Từ \(\left(1\right)\)  và   \(\left(2\right)\)  suy ra \(\frac{1}{AH^3}>\frac{1}{AB^3}+\frac{1}{AC^3}.\)

Điều kiện: x³ + 1 > 0

PT <=> \(5\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2\left(x^2+2\right)\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x^2-x+1}=b\) (a; b > 0) => a² + b² = x² + 2

Khi đó, PT <=> 5ab = 2(a² + b²)  <=> 2a² - 4ab - ab + 2b² = 0 <=> 2a(a - 2b) - b(a - 2b) = 0 <=> (2a - b)(a - 2b) = 0

<=> a = 2b hoặc b = 2a

+) Nếu a = 2b thì  \(\sqrt{x+1}=2\sqrt{x^2-x+1}\) <=> x+ 1 = 4(x² - x + 1) <=> 4x² - 5x + 3 = 0 ( tính \(\Delta\) suy ra x...)

+) Nếu b = 2a : giải tương tự

P = x⁴.y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1 

Ta có: x² + y² = (x + y)² - 2xy = 10 - 2xy => x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2x²y² = (10 - 2xy)² - 2(xy)² = 100 - 40xy + 2(xy)²

=> P = (xy)⁴ + 2(xy)² - 40xy + 101 = [(xy)⁴ - 8(xy)² + 16] + 10.[(xy)² - 4xy + 4] + 45 = [(xy)² - 4]² + 10.(xy - 2)² + 45

=> P > 45 

Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2 

Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y² = 2 => y² - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0 

\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

vậy  P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

hok giỏi nhưng cx có bài bế tắc chứ bộ đâu fai hok giỏi nhất thiết là cái gì cx biết đâu

P = x⁴.y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1 

Ta có: x² + y² = (x + y)² - 2xy = 10 - 2xy => x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2x²y² = (10 - 2xy)² - 2(xy)² = 100 - 40xy + 2(xy)²

=> P = (xy)⁴ + 2(xy)² - 40xy + 101 = [(xy)⁴ - 8(xy)² + 16] + 10.[(xy)² - 4xy + 4] + 45 = [(xy)² - 4]² + 10.(xy - 2)² + 45

=> P > 45 

Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2 

Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y² = 2 => y² - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0 

\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

vậy  P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

^o---^o