ta có P=\(\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)

Áp dụng bđt cố si ta có 

\(\sqrt{a-1}\le\frac{1}{2}\left(a-1+1\right)=\frac{1}{2}a\Rightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)

Tương tự mấy cái kia rồi + vào, để ý dấu = 

Bạn tham khảo tại đây ạ!

Câu hỏi của danh Vô - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Ta có \(\frac{3x^2+8x+6}{x^2+2x+1}=\frac{3x^2+6x+3+2x+2+1}{\left(x+1\right)^2}=\frac{3\left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)+1}{\left(x+1\right)^2}\)

\(=3+\frac{2}{x+1}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

Đặt \(\frac{1}{x+1}=t\), biểu thức trở thành: \(t^2+2t+3=\left(t+1\right)^2+2\ge2\)

Vậy GTNN của phân thức là 2, khi t = -1 tức là x = -2.

Làm tạm vào đây vậy

từ gt dễ dàng => \(ab+bc+ca\le3\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng cô si ta có

\(\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)

Tương tự như vậy rồi ccộng vào nhá nhok

Ta có: \(\widehat{DAB}=\widehat{MAB}\) , \(\widehat{EAC}=\widehat{MAC}\) (do tính chất đối xứng)

=> \(\widehat{DAE}=2.\widehat{BAC}\) là đại lượng không đổi khi M di chuyển trên BC.

=> \(DE^2=AD^2+AE^2-2.AD.AE.\cos\widehat{DAE}\)

Mà AD = AE = AM

=> \(DE^2=AM^2+AM^2-2.AM.AM.\cos\left(2.\widehat{BAC}\right)\)

               \(=2.AM^2\left[1-\cos2\widehat{BAC}\right]\)

=> DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất => M là chân đường cao hạ từ A xuống BC

Ta có  \(2\left(a^2+1\right)\ge\left(a+1\right)^2\)

           \(2\left(b^2+1\right)\ge\left(b+1\right)^2\)

          \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=a^2b^2+a^2+b^2+1\)

                                                \(=\left(ab+1\right)^2+\left(a-b\right)^2\)

                                                 \(\ge\left(ab+1\right)^2\)

\(\Rightarrow4\left(a^2+1\right)^2\left(b^2+1\right)^2\ge\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(ab+1\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(ab+1\right)\)

để \(2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(ab+1\right)\)

\(\Rightarrow a=1;b=1\)

đoạn thứ ba không dùng bunhia cho nhanh

\(áp\)\(dụng\)\(BĐT\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(ta\)\(có\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

          \(=\frac{3a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

            \(\ge\frac{3a^2}{b^2+c^2}+2\ge3+2=5\)        

dấu = xảy ra khi \(a^2=2b^22c^2\)

Những bài ntn chúng ta nên nhẩm ngiệm để cô si

ta có A=\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{4b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\)

Áp dụng bđt cô si cho cặp sô thứ 1, cho cặp số thứ 2

Ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}=4\Rightarrow\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\ge3\)

+ hết vào ...=> A>=...

dấu = xáy ra <=> b=c=a=1/căn(2)

<=>0,5x(x-3)-(x-3)(2,5x-4)=0

<=>(x-3)(0,5x-2,5x+4)=0

<=>(x-3)(-2x+4)=0

<=>(x-3)*2(4-x)=0

<=>x-3=0 hoặc 4-x=0

<=>x=3 hoặc x=4

ta có \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}=6\)

Mà \(\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow6\ge\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow x+2y+3z\ge6\)

MÀ \(y^2+1\ge2y;z^3+1+1\ge3z\)

=> A+3\(\ge\left(x+2y+3z\right)=6\) => A>=3

dấu = xảy ra <=> x=y=z

Giả sử \(0< a\le c\)suy ra \(a^2\le c^2\)

Ta có: \(a^2+b^2>5c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2>5a^2\)

\(\Rightarrow b^2>4a^2\)

\(\Rightarrow b>2a^{\left(1\right)}\)

Lại có: \(c^2\ge a^2\)

\(\Rightarrow b^2+c^2\ge a^2+b^2>5c^2\)

\(\Rightarrow b^2>4c^2\)

\(\Rightarrow b>2c^{\left(2\right)}\)

Cộng (1), (2) 

\(\Rightarrow2b>2a+2c\)

\(\Rightarrow b>a+c\)(vô lí)

\(\Rightarrow c< a\)

CMTT suy ra \(c< b\)

Vậy \(a>c;b>c\)